Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Arytmetykafinansowa
przedziałuanalizykapitałowejt=T.Jeślianalizakapitałowabędziewymagaćustalenia
punktówwewnątrzjejprzedziałuczasowego,tokoniecznebędziezastosowaniebar-
dziejzłożonychmodelizmianywartościkapitału–modelidwuczynnikowych,nazywa-
nychmodelamiforward.Modelomtakimbędziepoświęconykolejnypodrozdział.
1.2.Model
forward
ewolucjiwartościkapitału
Zajmiemysiętutajbudowąmodeluopisującegoprocesewolucjiwartościkapitału
wczasie.Niechdanybędzieprzedziałczasowy[0,T]analizykapitałowej.Przed-
miotemnaszychdociekańbędzieinstrumentfinansowyowartościCwmomencie
wycenyt
1E[0,T].Wartośćtegoinstrumentuewoluujewtensposób,żewmomencie
zapadalnościt
2E[0,T]osiągaonwartośćwyjściowąforwardf(C,t
1,t
2),przypisaną
argumentowi(C,t
1,t
2)ER×[0,T]2={(c,t
1,t
2):cER;t
1,t
2E[0,T]}.Wprzypadku
t
2уt
1mówimyoprocesieaprecjacjikapitału,wprzypadkut
2<t
1zaśmówimyopro-
cesiedyskontowaniakapitału.Podstawowewłasnościwyjściowejwartościforward
opisujenastępującadefinicja.
DEFINICJA1020Wartościąwyjściowąforwardnazywamyfunkcjęf:R×[0,T]2→R,która
dladowolnychwartościpoczątkowychC
1,C
2ERimomentówt
1,t
2,t
3E[0,T]spełnia
warunki:
f(C
1+C
2,t
1,t
2)=f(C
1,t
1,t
2)+f(C
2,t
1,t
2),
(1.20)
(t
3>t
2∧C
1>0)⇒f(C
1,t
1,t
3)уf(C
1,t
1,t
2),
f(C
1,t
1,t
2)=f(f(C
1,t
1,t
3),t
3,t
2).
(1.21)
(1.22)
Warunek(1.20)zakłada,żedowolniewyznaczonawartośćwyjściowaforwardjest
funkcjąaddytywnąwartościocenianegokapitału.Oznaczato,żewartośćwyjściowa
sumykapitałujestrównasumiewartościwyjściowychkapitału.Warunek(1.21)
informujenas,żewrazzupływemterminuzapadalnościwartośćwyjściowaforward
aktywówniemożezmaleć.Inaczejmówiąc,naoszczędzaniuniemożnastracić.
Warunek(2.22)wskazujenapośrednirekurencyjnysposóbwyznaczaniaszeregu
czasowegowartościwyjściowychforward.
LEMAT1010Dowolnawartośćwyjściowaforwardf:R×[0,T]2→Rspełniatożsamość
f(C,t,t)=C.
Dowód.Zrównania(1.22)mamy
f(C
1,t
1,t
2)=f(f(C
1,t
1,t
2),t
2,t
2).
Podstawiającterazt=t
2iC=f(C
1,t
1,t
2),otrzymujemywzór(1.23).
(1.23)
TWIERDZENIE1080Warunki(1.20)–(1.22)sąwarunkamidostatecznymiikoniecznymi
dotego,bywartośćwyjściowaforwardf:R×[0,T]2→Rspełniałatożsamość
f(C,t
1,t
2)=C
ϕ
(t
1,t
2),
(1.24)
