Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.4.1.Nieregularnastrukturaterminowa
forward
1.Arytmetykafinansowa
Zakładamytutaj,żestrukturaterminowaforwardΦ={([ti-1,t
i[,q
i)}n
i=1jestzbudo-
wanazezróżnicowanychcododługości∆t
iokresówkapitalizacjiizróżnychwartości
q
istopyforward.Takąstrukturęterminowąforwardnazywamynieregularną.Niere-
gularnośćstrukturyterminowejforwardpozwalaprzypuszczać,żetakżestruktura
terminowastopynominalnejΨ={([ti-1,t
i[,p
i)}n
i=1opisujerozkładzróżnicowanych
cenkapitału.Możemywtedywykazać,że:
TWIERDZENIE10180JeślistrukturaterminowastopynominalnejΨ={([ti-1,t
i[,p
i)}n
i=1
dlakażdejliczbynaturalnejiрnspełniawarunek
p
i∆t
i<1,
(1.62)
towartośćkapitalizowanazgórys∗(⋅,⋅iΨ):R×[0,T]→Rjestwartościąprzyszłąwy-
znaczonązapomocączynnikaaprecjacjizgóry
ς
∗(⋅iΨ):[0,T]→[1,+∞[,którydla
każdegoi=1,2,
...,njestokreślonyprzezzależności:
ς
∗(0iΨ)=1∧
ς
∗(t
iiΨ)=
ς
1-p
∗(ti-1iΨ)
i∆t
i
,
(1.63)
∀tE]ti-1,t
i]
ς
∗(tiΨ)=
ς
∗(t
iiΨ)=C∗
i.
(1.64)
Dowód.Zwarunków(1.57),(1.58),(1.60)i(1.48)otrzymujemywzór(1.1).Korzystając
zzależności(1.57),(1.58)i(1.60),wnioskujemy,żezachodziwzór(1.2).Warunek
(1.3)wynikabezpośredniozrównania(1.59).Zatemwartośćkapitalizowanazgóry
jestwartościąprzyszłą.DlakażdegotE]ti-1,t
i](i=1,2,
...,n)zapomocązależności
(1.4),(1.48),(1.57),(1.59)i(1.60)otrzymujemy
ς
∗(t
iiΨ)=
ς
∗(t
i-1iΨ)+
ς
∗(t
iiΨ)p
i∆t
i,
codowodziprawdziwościwyrażenia(1.63).Zależność(1.64)wynikabezpośrednio
zewzoru(1.60).
Wobectwierdzenia1.17wartośćkapitalizowanązgórymożemyzapisaćjako
funkcjęschodkowądanątożsamością
s∗(C,tiΨ)=
{
C
C
i
0
dla
dla
t]ti-1,t
t=t
0=0,
(1.65)
i],i=1,2,
...,n,
gdzieciąg{C
i}n
i=0jestzdefiniowanyrekurencyjniewnastępującysposób:
{
C
C
i=
0=C,
1-p
Ci-1
i∆t
i
(1.66)
,i=1,2,
...,n.
Przykład1070Niechbędziedanastrukturaterminowastopynominalnej1,opisująca
rozkładcenkomercyjnychkapitału
1PodobieństwotejstrukturyterminowejdostrukturyterminowejforwardΦopisanejwprzykła-
dzie1.1jestcałkowicieprzypadkowe.
