Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
Przestrzeniewektorowe
2.1.Przestrzeniewektorowe–definicjaipodstawowewłasności
NiechVbędziezbiorem,Kciałem,+działaniemwewnętrznymwzbiorzeVorazniech·
będziemnożeniemelementówzbioruVprzezelementyzbioruK.Czwórkę(V;K;+;·)
nazywamyprzestrzeniąwektorową(lubteżprzestrzeniąliniową)nadciałemK,jeśli
spełnionesąwarunki:
(PW1)(V;+)jestgrupąabelową,
(PW2)^
^
a(U+w)1aU+aw,
aEK
U7wEV
(PW3)
^
^
(a+b)U1aU+bU,
a7bEK
UEV
(PW4)
^
^
a(bU)1(ab)U,
a7bEK
UEV
(PW5)^
UEV
1U1U.
Uwagi.1oWarunek(PW1)oznacza,żeV/1∅orazdziałanie+wzbiorzeVjest
przemienneiłączne,maonoelementneutralnyidlakażdegoelementuzbioruVistnieje
elementprzeciwny.2oWzapisiewarunków(PW2)i(PW3)znak+stojącymiędzyele-
mentamizbioruVoznaczadodawaniewV,aznak+stojącymiędzyelementamiciała
KoznaczadodawaniewK.Wzapisiewarunków(PW2)–(PW5)pominiętesąkropki
oznaczającemnożeniewcieleKimnożenieelementówzbioruVprzezelementyciała
K.Rozumiemyprzezto,żenp.zapisab,gdziea7bEK,oznaczailoczynwcieleK,
natomiastzapisaU,gdzieaEK,UEV,oznaczailoczynelementuUEVprzezelement
aciałaK.
ElementyzbioruVnazywamywektorami,aelementyciałaKnazywamyskalarami.
Jeślinieprowadzitodonieporozumień,tosamzbiórwektorówVnazywamyprze-
strzeniąwektorową.
Zerogrupy(V;+)nazywamywektoremzerowymioznaczamyjesymbolem0lub
0.ElementprzeciwnydoelementuUEVwgrupieVnazywamywektoremprzeciwnym
dowektoraUioznaczamyprzez1U.JeśliU7wEV,tozamiastU+(1w)piszemyU1w.
