Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Zagadnieniawstępne
Definicja1.5.7.Postaciątrygonometrycznąliczby
z
±
a
+
bi
#
0
nazywamy
wyrażenie:
z
±
z
(
cos
I
+
i
sin
I
)
,
gdzie
cos
I
±
a
b
a
2
+
b
2
,
sin
I
±
a
2
+
b
2
.
Kąt
I
nosinazwęargumentuliczbyzespolonejzioznaczanyjestprzezargz.Jeśli
I
E
0
,
2
π
)
,toargumenttennazywamyargumentemgłównymioznaczamy
Argz.
Liczbę
z
±
(
0
,
0
)
takżemożnaprzedstawićwpostacitrygonometrycznej.Jej
argumentemmożebyćdowolnykąt.
I
Twierdzenie1.5.6.Dladowolnychliczbzespolonych
z
1,z
2
zachodzi:
arg
(
z
1
|
z
2
)
±
arg
z
1
+
arg
z
2
oraz
arg
(
|
|
k
z
z
1
2
N
|
|
)
±
arg
z
1
-
arg
z
2
,
gdy
z
2#
0
.
Dowód.a)Niech
z
1
±
z
1
(
cos
I
1
+
i
sin
I
1
)
,
z
2
±
z
2
(
cos
I
2
+
i
sin
I
2
)
.
Oznaczato,że
arg
z
1
±
I
1
oraz
arg
z
2
±
I
2
.
Wyznaczmyiloczynliczb
zi
1
z
2
,
wykorzystującichpostaćtrygonometryczną:
z
1
|
z
2
±
z
1
(
cos
I
1
+
i
sin
I
1
)
|
z
2
(
cos
I
2
+
i
sin
I
2
)
±
=
z
1
z
2
(
cos
I
1
cos
I
2
+
i
cos
I
1
sin
I
2
+
i
sin
I
1
cos
I
2
+
i
2
sin
I
1
sin
I
2
)
±
=
z
1
z
2
(
(cos
I
1
cos
I
2
-
sin
I
1
sin
I
2
)
+
i
(cos
I
1
sin
I
2
+
sin
I
1
cos
I
2
))
±
±
z
1
z
2
(
cos
(
I
1
+
I
2
)
+
i
sin
(
I
1
+
I
2
)
)
.
Wynikastąd,że
arg
(
z
1
|
z
2
)
±
I
1
+
I
2
±
arg
z
1
+
arg
z
2
.
Analogicznieprzeprowadzamydowóddlaargumentuilorazuliczbzespolo-
nych.■
Twierdzenie1.5.7.Dladowolnejliczbyzespolonejzi
nE
N
prawdziwy
jestwzór:
arg
()
z
n±
n
arg
z
.
Twierdzenietowynikaztwierdzenia1.5.6.
Twierdzenie1.5.8.(WzórdeMoivre’a).Jeżelizjestliczbązespolonąpo-
staci
z
±
cos
I
+
i
sin
I
,
to
(
cos
I
+
i
sin
I
)
n
±
cos
n
I
+
i
sin
n
I
.
29
