Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1:Maksymalizacjaoczekiwaneju¿ytecznościprzezinwestorówracjonalnych
29
1964)sąfunkcjeklasyDARA,zhiperboliczniemalejącąbezwzględnąawersją
doryzyka(hyperbolicabsoluteriskaversion,HARA).Spośródnichfunkcjaklasy
CRRAposiadadodatkowowłasnośćstałejrelatywnejawersjidoryzyka,
prowadziwięcdoalokacjitejsamejproporcjikapitałuwaktywaryzykowne
niezależnieodjegopoczątkowejwielkości.Wwykorzystywanymdalejpo-
dejściupozwolizatemnaprzypisanieagentomnarynkupodobnychpre-
ferencjiwzględemryzykaniezależnieodwielkościposiadanegokapitału.
Cechytakieposiadafunkcjaostałejelastycznościzdefiniowanaformułą(1.9):
Ux
()
=
ì
ï
í
ï
î
x
1
1
ln()
-
h
-
x
h
-
1
h
h
¹
=
1
1
.
(1.9)
Współczynnikhjestnieujemnyistanowimiaręrelatywnejskłonnoścido
ryzyka:zwiększeniewartościhpowodujewzrostawersjidoryzyka,przy
czymdlah=0funkcjastajesięliniowaiobrazujebezwzględnąneutralność
wobecryzyka.Zkoleidlah=1funkcjaasymptotyczniedążydofunkcji
logarytmunaturalnego,któryuzupełniajejpostaćanalitycznąwtympunk-
cienieciągłości,zzachowaniemwłasnościcałejrodzinyfunkcji.
Przyjrzyjmysiępewnymwłasnościomtakzdefiniowanejfunkcjiuży-
teczności.Załóżmy,żeinwestorcechującysięawersjątypuHARA/CRRA
opisanąpowyższąfunkcjąrozważaudziałwobarczonejryzykiemloteriiG
(inwestycji)lubnieprzystępowaniedogry(brakryzyka,graF).Aktualna
wartośćjegoaktywówwynosix0,aużytecznośćokreślaU(x0).Przyjmijmy
dlauproszczenia,żeinwestoroczekuje,szacujelubwyobrażasobie,żebiorąc
udziałwgrzemożepowiększyćswójkapitałdox
0
×
(
1
+
ru
)zprawdopodo-
bieństwemplubzmniejszyćwwynikuponiesionychstratx
0
×
(
1
-
rd
)do
zprawdopodobieństwem1–p.Zmianęwartościpieniądzawczasiepomija-
mylubjestonawpisanawfunkcjęużyteczności.Oznaczato,żeracjonalnie
postępującyinwestorzawersjądoryzykaHARA/CRRAbędziemaksymali-
zowałużyteczność,porównującmożliwealternatywyudziałuwgrze(in-
westycji)ipasywności(brakudziałań).Użytecznośćobuwariantówwyraża
sięformułami(1.10)i(1.11)odpowiedniojako:
UF
()=
x
0
1
1
-
-
h
h
-
1
(1.10)
dlabrakudziałaniaoraz:
UG
()
=×
p
(
x
0
×
(
1
1
+
r
-
u
h
)
)
1
-
h
-
1
+
(
1
-
p
)
×
(
x
0
×
(
1
-
1
r
-
d
)
h
)
1
-
h
-
1
.
(1.11)
