Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
e)Utworzyćkwadratlogicznytwierdzeń,stwierdzić,któreznichsąprawdziwe
iwypowiedziećjewterminach:warunekdostateczny(wystarczający)iko-
nieczny,jeślitwierdzenieprostejestpostaci:
Dlakażdejfunkcjiliczbowejfokreślonejwprzedziale
(
x
0
-
rx
,
0
+
r
)
imają-
cejpochodną
f!
wtymprzedziale(inaczejróżniczkowalnej),
jeślifunkcjafmaekstremumlokalnewpunkcie
x,to
0
fx
!
()
0
±
0
.
>Twierdzeniedotyczyfaktu
P±„funkcjafmaekstremumlokalnewpunk-
:
cie
x”,któregodefinicjajestnastępująca:
0
funkcjafokreślonawprzedziale
(
x
0
-
rx
,
0
+
r
)
maekstremum(maksimum
albominimum)lokalnewpunkcie
x:-
0
:
-3E
δ
(
r
vE
x
(
x
0
-
δ
x
0
+
δ
)
,
łj
fx
()
jvjj
Ś
fx
()
ł
0
V
łj
fx
()
jvjj
2
fx
()
ł
0
.
0,
,
maksimumw
x
0
minimumw
x
0
Korzystanieztejdefinicjidladowolnejfunkcjijestutrudnionezewzględuna
występowaniekwantyfikatora„istnieje”iznajomość„zgóry”punktu,wktó-
rymokreślamyekstremum(mówimy,żedefinicjajestniekonstruktywna).Dla-
tegowprowadzasiępojęciepochodnejfunkcjiirozwijasięteorię(rachunek
różniczkowy),formułującidowodzącużytecznewarunkidostateczne(wy-
starczające)lubkoniecznedlawystępowania(zajścia)ekstremumzużyciem
tegopojęcia.
Danewzadaniutwierdzenie,prawdziweiznanezeszkołyśredniej,wypowia-
damy:warunkiemkoniecznymistnieniaekstremumwpewnympunkcie
funkcjiróżniczkowalnejjestzerowaniesiępochodnejwtympunkcie.
Konstruujemypozostałetwierdzeniakwadratulogicznego(opuszczającdla
uproszczeniakwantyfikatorogólnyprecyzującyzałożeniadotyczącefunkcji):
-odwrotne
jeśli
fx
!
()
0
±
0
,tofunkcjafmaekstremumlokalnewpunkcie
x,
0
-przeciwne
jeślifunkcjafniemaekstremumlokalnegowpunkcie
x,to
0
fx
!
()
0
#
0
,
-przeciwstawne
jeśli
fx
!
()
0
#
0
,tofunkcjafniemaekstremumlokalnegowpunkcie
x.
0
Stwierdzamy,żeimplikacjaodwrotna(równieżrównoważnazniąprzeciwna)
jestfałszywaprzezwskazanie(zgodniezpierwszymprawemdeMorgana
(1.14))kontrprzykładu,czylinp.funkcjizadanejwzorem
fx
()
±
x
3
ipunk-
tu
x±,dlaktórejprawdziwajestkoniunkcja
0
0
f!
()
0
±
0
ifniemawtym
30
