Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ponieważichzałożeniaitezywykluczająsięwzajemnieiwyczerpująwszyst-
kiemożliwości(wiedząc,że
0
Ś
P
Ś
2
).Wtakimprzypadkuprawdziwesą
implikacje(twierdzenia)odwrotne,astądnamocytautologii(1.10)możemy
wpowyższychtwierdzeniachzamiastimplikacji
3
napisaćrównoważność
-.Innymisłowy,zapomocąwyróżnika∆otrzymujemywarunekdosta-
tecznyikonieczny(równoważny)napostaćiliczbępierwiastkówrównania
kwadratowego(np.∆=0jestwarunkiemrównoważnymztym,żerównanie
kwadratowemajedenpierwiastekrówny
-
p
).■
2
S(1.5)
a)Niech,
xyERisymbol
max
(
xyokreślawiększązliczbx,y,zaś
,
)
min
(
xy
,
)
mniejszązliczbx,y,awprzypadkuichrówności-tęsamąliczbę,np.
max4,3
(
-
)
±
4,min
(
--
2,5
)
±-
5,max3,3
(
)
±
min3,3
(
)
±.
3
Udowodnićtwierdzenie:
v
xy
E
R
,max
(
xy
,
)
±
x
++
y
2
x
-
y
^
min
(
xy
,
)
±
x
+-
y
2
x
-
y
,
orazwniosekzniego:
vE
x
R
,
x
±
max
(
x
,0
)
-
max
(
-
x
,0
)
,
przyczym
max
(
x
,0
)
2
0
i
max
(
-
x
,0
)
2,któryprzedstawiakażdąliczbę
0
rzeczywistąjakoróżnicędwóchliczbrzeczywistychnieujemnych(jedną
znichjest0).
b)Rozwiązanierównania2
x
±
5,
x
ERzapisujemywpostaci
x±
log5
2
.Poka-
zać,żejesttoliczbaniewymierna,tzn.
log5EIQ.
2
c)Udowodnićtwierdzenie(ozachowaniunierównościsłabejwgranicy):
Dlakażdychdwóchciągówowyrazachrzeczywistych
xy
n
n
,
nEN,jeślisą
,
zbieżnei
3E
k
N
vE
n
N
,
n
>
k
3
x
n
Ś
y
n
,tolim
n
ą®
x
n
Ś
n
lim
ą®
y
n
.
Podaćprzykład,żezmocnejnierówności
x
n
<
y
n
naogółniewynikamocna
nierównośćlim
n
ą®
x
n
<
n
lim
ą®
y
n
(atylkolim
n
ą®
x
n
Ś
n
lim
ą®
y
n
).
d)Zapomocąkwantyfikatorówpodaćdefinicjęfunkcjiokresowejorazjejza-
przeczenie,anastępniekorzystającztego,pokazać,żefunkcjaokreślonawzo-
rem
fx
()
±
x
2
,
x
ER
jestnieokresowa.
e)Utworzyćkwadratlogicznytwierdzeńorazocenić,któreznichsąprawdziwe
iwypowiedziećjewterminach:warunekdostateczny(wystarczający)iko-
nieczny,jeślitwierdzenieprostejestpostaci:
32
