Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
punkcieekstremumlokalnego(cowynikawprostzdefinicjilubwykresufunk-
cji).Zatemwarunek
fx
!
()
0
±
0
niejestwarunkiemdostatecznym(wystar-
czającym)naistnienieekstremumwpunkcie
x.Niemożnawięcwniosko-
0
wać,żepierwiastkirównania
f
!
()
x
±
0
(tzw.punktystacjonarnefunkcjif)
sąekstremamilokalnymifunkcji.Natomiasttwierdzenieprzeciwstawnerów-
noważnetwierdzeniuprostemu(namocyprawa(1.21))jestprawdziwe.Moż-
najewypowiedzieć:warunkiemdostatecznym(wystarczającym)nanieist-
nienieekstremumwpunkcie
xjest
0
f
!
()
x
#.Stądwynika,żedlafunkcji
0
różniczkowalnejwokreślonymprzedzialejedynymipunktami,wktórym
mogąbyć(aleniemuszą)ekstremalokalne,sąjejpunktystacjonarne(często
nazywasięjepunktami„podejrzanymi”oekstremum).■
Komentarz.Wpraktycestosujemynaogółwarunkidostatecznenaistnienie
(albonieistnienie)ekstremum,bowiemspełnienieichzapewniawmyślreguły
odrywaniarozwiązaniezadanianaposzukiwanieekstremum.Takimpospolitym
warunkiem(zwanympierwszymwarunkiemdostatecznymnaistnienie
ekstremum)jestzmianaznakupochodnej
f!
przyprzejściuprzezpunkt
x.
0
Natomiastwarunek,żenienastępujezmianaznakupochodnej
f!
przy
przejściuprzeztenpunkt,jestwarunkiemdostatecznymnato,żeniemawnim
ekstremum.Stądwynika,żezadanienaznalezienieekstremumfunkcjiróżnicz-
kowalnejsprowadzasiędorozwiązywanianierówności
f
!
()
x
<
0
(
f
!
()
x
>),
0
którewyznaczająprzedziałymonotonicznościfunkcjiisąwarunkamidostatecz-
nyminato,żebyfunkcjafbyłamalejąca(rosnąca)wprzedziale.
f)Podaćiuzasadnićzwiązkimiędzyzbiorempierwiastkówrzeczywistychrów-
naniakwadratowego
x
2
+
pxq
+±,czylizbioremzapisanymnastępująco:
0
P
:
±
{
x
E
R
:
x
2
+
pxq
+±^
0
p
E
R
^E
q
R
}
awyróżnikiemtegorównaniaoznaczonym„deltą”
∆±
:
p
2
-
4
q
.
>Lewąstronęrównaniazapisujemywpostacikanonicznej:
(
|
k
x
+
2
p
N
|
)
2
-
∆
4
±
0
,
zktórejwynikaukładzamknięty3twierdzeń(warunkówdostatecznychnaP):
∆>3
0
P
±
[
|
{
|
[
x
1
±
--∆
p
2
x
2
±
-+∆
p
2
]
|
}
|
J
,
,
∆±3
0
P
±{
[
[
-
2
p
]
}
J
,
∆<3
0
P
±
0
,
31
