Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Dlakażdegociąguowyrazachrzeczywistych
x
n
,
nEN
,jeśliciągjestzbież-
ny,tojestograniczony.
Zastosowaćjedoudowodnieniatwierdzeń(jakareguławnioskowaniajest
podstawąrozumowania?):
1)ciągowyrazach
x
n
±
2
2
n
n
+
1
+
-
3
n
3
+
n
1
,
n
E
N
jestograniczony;
2)ciągowyrazach
x
n
±-
()
2,
n
n
ENjestrozbieżny.
f)Podaćiuzasadnićwarunkinawzajemnepołożeniedwóchprostych
pp
1
,
2
napłaszczyźnie,którewukładziewspółrzędnychXOYmająrównania
wpostaciogólnej
p
1
:
AxByC
1
+
1
±
1
,
p
2
:
AxByC
2
+
2
±
2
,(przywarunku
A
k
2
+
B
k
2
>
0,
vE
k
{}
1,2
),zapomocątrzechwyznaczników
W
±
A
A
1
2
B
B
1
2
:
±
AB
12
-
ABW
21
,
x
:
±
C
C
1
2
B
B
1
2
±
CB
12
-
CB
21
,
W
y
±
A
A
1
2
C
C
1
2
:
±
AC
12
-
AC
21
.
Wskazówki
a)Rozpatrzyćtrzyprzypadki:x
<
y
V
x
±
y
V
x
>
y
iskorzystaćzdefinicjiwartości
bezwzględnej:
a
±
a
:
-
a
2
0,
a
±-
a
:
-
a
<
0
orazfaktu,że
-
x
ŚŚ
x
x
.
b)Dowódniewprost.Przyjęcie
2
m
±
5
n
(dlaczego?).
log5
2
±
m
n
prowadzidofałszywejrówności
c)Dowódniewprost.Zakładamy,że
n
lim
ą®
x
n
:
±
x
0
>
n
lim
ą®
y
n
:
±
y
0
iweźmylicz-
bępośrednią
c
E
(
yx
0
,
0
)
.Wdefinicjigranicy
n
lim
ą®
x
n
±
x
0
przyjąćotoczenie
xopromieniu
0
x
0
->
c
0
iwywnioskować,żeodpewnegomiejsca,np.dla
n
>
k
1
,zachodzi
x
n
>
c
ipodobniewdefinicjigranicy
n
lim
ą®
y
n
±
y
0
wziąćoto-
czenie
yopromieniu
0
c
-
y
0
>,uzyskując
0
y
n
<
c
dla
n
>
k
2
;wówczasdla
n
>
max
(
kk
1
,
2
)
zachodząobienierówności,zktórychwynika,że
x
n
>
y
n
,co
jestsprzecznezzałożeniem.Kontrprzykładem,żeniemożnaprzyjąćnierów-
nościostrych,jestprzykładciągówowzorach,np.
x
n
±
0,
y
n
±
1
n
.
d)Zdanieokreślające,żefunkcjaowzorze
fx
()
±
x
2
±
x
jestnieokresowa
(zaprzeczeniedefinicji1.23w[1]),mapostać:
v#3E
p
0
x
R
,
ł
x
jvj
+!
p
ł
R
V
x
+
p
#
x
fasz
ł
ijestprawdziwe-wystarczywskazaćdladowolnego
p#
0
liczbęx=0.
33
