Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
P(1.6)
a)Udowodnić,że
vE
n
N
,1
2
+
2
2
+
ł
+
n
2
±
1
6
nn
(
+
12
)(
n
+
1
)
.
>Dowódindukcyjny.Sprawdzamyprawdziwośćdwóchzałożeńzasady
indukcji.
Z1:Dla
dziwy.
n±
1
wzórmapostać:
1
2
±||
1
6
11121
(
+
)(
+
)
-±,czylijestpraw-
11
Z2:Dowodzimyprzesłankęindukcyjną:
vE
n
N
,(1
2
+
2
2
+
ł
+
n
2
±
1
6
nn
(
+
12
)(
n
+
1
)
U
1
2
+
2
2
+
ł
+
n
2
+
(
n
+
1
)
2
±
1
6
(
n
+
1
)(
n
+
22
)(
n
+
3).
)
Dowód.Pokazujemy,żelewastronatezyjestrównaprawejzwykorzysta-
niemzałożenia:
1
łjj
2
+
2
zaozenie
2
ł
vjj
+
-
ł
+
ł
n
2
+
(
n
+
1
)
2
±
1
6
nn
(
+
12
)(
n
+
1
)(
+
n
+
1
)
2
±
±
6
1
(
n
+
12
)
(
łjj
n
2
++
jvjjj
n
6
n
+
ł
6
)
±
1
6
(
n
+
1
)(
n
+
22
)(
n
+
3,cnd.
)
2
n
2
+
7
n
+
6
Napodstawiezasadyindukcjiwykazaliśmywięcprawdziwośćwzorudlakaż-
dejliczbynaturalnejn.■
Komentarz.Dowodzenieprzesłankiindukcyjnejwprzypadku,gdy
Tnjest
()
równością,jestproste,boznamykońcowyrezultatprzekształceń.
Innatechnikadowoduprzesłankijestwięcnastępująca:wychodzimyzzało-
żenia,żezachodzirówność
1
2
+
2
2
+
ł
+
n
2
±
1
6
nn
(
+
12
)(
n
+
1
)
dlaustalonej,
dowolnejliczbynaturalnejninastępniekorzystamydodatkowoztożsamości
(
n
+
1
)
2
±
1
6
(
n
+
1
)(
n
+
22
)(
n
+
3
)
-
1
6
nn
(
+
12
)(
n
+
1
)
(jejdowódjestłatwyipoleganaelementarnychprzekształceniachalgebraicznych).
36
