Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Klasycznymodelregresjiliniowej–przypadekjednejzmiennejobjaśniającej
11
50
50
Rozwiązującpierwszerównaniewzględem
∑
x
i
y
i
3mamy:10–0302
∑
x
i
y
i
=63
i=1
i=1
50
codajeostatecznie:
∑
x
i
y
i
=200.Oszacowanieparametruα
1
możnaotrzymać
i=1
zdrugiegorównania3popodstawieniuuzyskanegowcześniejwynikudlasumy
iloczynów3awięc:α
ˆ
1
=–0302⋅100+03005⋅200=–2+1=–1.Wobectego:
y
ˆ
t
=6–x
t
.
Abyobliczyćsumękwadratówreszt3należyzastosowaćnastępującewzory:
σ
ˆ
2
=
e
T–K
T
(t)
e
(t)
3
D
ˆ
2
(␣
ˆ
(k)
)=
r
I
L
cov(α
σ
ˆ
ˆ
2
α
ˆ0
0
3α
ˆ
1
)
cov(α
σ
ˆ
ˆ
2
α
ˆ1
0
3α
ˆ
1
)
1
I
J
=σ
ˆ
2
(X
T
X)
–1
.
Korzystajączewzorównadolnąigórnągranicęprzedziałuufnościorazprzyj-
mującupraszczającezałożenie3iżt
03975;48
=23otrzymujemyrównanie:6–2σ
ˆ
α
ˆ0
=23
zktóregowynika3że:σ
ˆ
α
ˆ0
=23azatemσ
ˆ
2
α
ˆ0
=4.Podstawiająctenwynikdowzoru
definiującegomacierzwariancji-kowariancjiestymatorówparametrów3mamy:
4=σ
ˆ
2
0313codajeσ
ˆ
2
=40.Ostateczniezatem:e
T
(t)
e
(t)
=48⋅40=1920.
Zadaniadosamodzielnegorozwiązania
Zadanie1.3
Oszacowanoparametrymodeluzjednązmiennąobjaśniającąmetodąnajmniej-
20
szychkwadratów3uzyskując:y
ˆ
t
=1+2x
t
.Wiedząc3że
∑
x
t
=40wykaż3iżdla
t=1
modelux
ˆ
t
=β
ˆ
0
+β
ˆ
1
y
t
zachodzi:β
ˆ
0
у–035.Jakiewarunkimusząbyćspełnione3
abyβ
ˆ
0
=–035?
Zadanie1.4
Wiedząc3żeocenyparametrówuzyskaneMNKsąnastępujące:y
ˆ
t
=1+038x
t
3
20
t=13…320orazże
∑
x
t
=40iodchyleniastandardowezpróbydlaobydwuzmien-
t=1
nychwyniosły53znajdźocenyparametrówmodelux
t
=β
0
+β
1
y
t
+ξ
t
3t=13…320.
Zadanie1.5
Oszacowaniemacierzywariancji-kowariancjiestymatorówparametrówmodelu
uzależniającegokonsumpcjęoddochodówpostaci:C
t
=α
0
+α
1
Y
t
+ξ
t
uzyskane
metodąnajmniejszychkwadratówjestnastępujące:D
ˆ
2
(␣
ˆ
(k)
)=
r
I
L
–0316
1
–0316
0325
1
I
J
.
