Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Wektorynarozmaitości
15
teżprzestrzeniepojawiającesięwinnychnaukachścisłychitechnicznych.Tu
podamyuproszczonądefinicjęrozmaitości,nieodwołującąsiębezpośredniodo
topologii.
1.2.Wektorynarozmaitości
Pierwszymkrokiemjestprzeniesienieznanejnamanalizywektorowejwli-
niowejprzestrzeniRnnadowolnąrozmaitość,którajestnzakrzywiona”,tj.nie-
liniowa.Pojęciewektorapochodzizgeometriianalitycznej,ajegoprototypem
1
→
jestodcinekskierowany
PQwEnłączącypunktpoczątkowy(zaczepienia)P
zpunktemkońcowymQ.Mamydwarodzajewektorów:wektoryzaczepione
wpunkciepoczątkowymorazwektoryswobodne—reprezentowaneprzezcałą
1
→
klasęrównoważności[
PQ]odcinkówskierowanych.Wobuwypadkachwektor
jestwyznaczonyprzezparę(lubnieskończonyzbiórpar)punktówwEn.To
określeniewektorajestniewystarczającedlawiększościproblemówgeometrii,
naukścisłychitechniki.Wektorprędkościvplanety(traktowanejjakopunkt
materialny)jestzaczepionywpunkciePorbity,wktórymwdanejchwilipla-
netasięznajduje,apunktkońcowyQjestnieokreślonyifizycznieniemasensu.
To,żewektorvniejestodcinkiemskierowanym,widaćzfaktu,żeniezgadza-
jąsięwymiary2.Współrzędne(kartezjańskie)mająwymiardługościitensam
wymiarmaodcinekskierowany,awięcróżnyodwymiaruprędkości.Wektor
prędkości(ikażdejinnejwielkościfizycznej)jestjedynieproporcjonalnydo
pewnegoodcinkaskierowanego,awspółczynnikproporcjonalnościjestwiel-
kościąwymiarowąimadowolnąwartość.Rzeczywiście,zdefinicjiprędkości
piszemyv=∆x/∆t,gdzie∆xjestodcinkiemskierowanymodpołożeniapla-
netywchwilitdopołożeniawchwilit+∆t,aleponieważ(infinitezymalny)
interwał∆tjestdowolny,tensamzatemwektorvdostajemy,biorącwielkości
a∆xia∆t,gdziea/=0jestdowolnąliczbą.Taniezgodnośćwymiarówsygna-
lizuje,żenaogółwektornieleżywtejprzestrzeni,wktórejjestzaczepiony.
Zauważmynatomiast,żewektorprędkościjestzdefiniowanyjakowektorstycz-
nydokrzywej(trajektoriiplanety).Jesttowłasnośćogólna:wektorybędziemy
definiowaćjakoobiektystycznedokrzywychnarozmaitości,czyliokreślone
przezkierunekprostejstycznej.Tymsamymdanywektorjestzwiązanyzjed-
nympunktemprzestrzeni—wybranympunktemstyczności.
Wprzestrzenizakrzywionej,np.nasferze,wektorwogóleniemożebyć
odcinkiemprostejzłożonejzpunktówtejprzestrzeni,gdyżniematamlinii
prostychistrzałkabysięwygięła.Wynikastąd,żewektornasferze—nazywa-
2Terminem„wymiar”określamydwaodrębnepojęcia.Wmatematycewymiar(lubliczbawymia-
rów)toliczbawspółrzędnychniezbędnychdojednoznacznegozdefiniowaniapunktuwprzestrzeni,
wymiarprzestrzeniRnjestzatemrównyn.Wnaukachścisłychwymiar(lubmiano)wielkościfi-
zycznejtowyrażeniejejwpostaciiloczynupotęgjednostekwielkościpodstawowych,czylidługości
L,czasuTimasyM;prędkośćmawymiarL/T.
