Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Preliminaria
•WektorowaprzestrzeńRn.WRnwyróżnionyjestpunkt0=(0j...j0),
naturalnejestwięcnałożyćnaniąstrukturęprzestrzeniliniowej4:punktytrak-
tujemyjakwektory.WektorowaprzestrzeńRnton–wymiarowarzeczywista
przestrzeńliniowa,którejelementamisąciągix=(x1j...jxn).Operacjali-
niowaax+bg,dlaajb∈R,dajewektorbędącyciągiem(axi+bgi).Współ-
rzędnexipunktustająsięterazskładowymiwektora.Wektorjesttożsamy
zciągiemswoichskładowych.Abymiećzgodnośćzzapisemmacierzowym,
przyjmujemyregułę,żeskładowewektora,zarównowRn,jakinadowolnej
rozmaitości,tworząmacierzjednokolumnową.Wtejprzestrzeniwprowadza-
mybazęnaturalnązłożonąznwyróżnionych,liniowoniezależnychwektorów5
e1=(1j0j...j0)T,e2=(0j1j0j...j0)T,...,en=(0j...j0j1)T.Wbazie{ei},
i=1j...jn,dowolnywektorxjestkombinacjąliniowąx=Σ
n
i=1xiei.Wynika
stądfundamentalne
TWIERDZENIE1.1.Każdarzeczywistan–wymiarowaprzestrzeńliniowa
VnjestizomorficznazwektorowąprzestrzeniąRn.Izomorfizmoznaczatu
wzajemniejednoznaczneizachowująceoperacjealgebraiczneodwzorowanie
linioweVnnaRn.
Rzeczywiście,niech{Ei},i=1j...jn,będziepewnąbaząwektorową
wVn,czylikażdywektoru∈Vnmawtejbaziereprezentacjęu=Σ
n
i=1xiEi.
Wprowadzamyodwzorowanieliniowef:Vn→Rnzdefiniowanejegodziała-
niemnawektorybazowe6,f(Ei):=ei.Wówczas
n
n
f(u)=
Σ
xif(Ei)=
Σ
xie
i=x
i=1
i=1
imamywzajemniejednoznaczneprzyporządkowanieu↔xbędąceliniowym
izomorfizmemobuprzestrzeni.
•TopologicznaprzestrzeńwektorowaRn.WliniowejprzestrzeniRnmoż-
nawprowadzićtopologię,czylizdefiniowaćrodzinęzbiorówotwartych,które
łączniepokrywającałąprzestrzeń.Możnatozrobićnawielenierównoważnych
sposobów.Wpraktycezawszewprowadzasiętopologięnaturalną,wktórej
pierwotnymizbioramiotwartymisąkuleotwarteośrodkuwdowolnympunk-
ciexo=(xi
o)iodowolnympromieniuT>0:
n
K(xojT):={x:
Σ
(xi−xi
o)
2<T2};
i=1
kuleteniezawierająbrzegowejsfery.Dowolnyzbiórotwartyjestsumąmnogo-
4Terminy„przestrzeńliniowa”i„przestrzeńwektorowa”traktujemyjakścisłesynonimy.
5Zewzględówtypograficznychbędziemyczasempisaćwektoryjakotransponowanemacierzejed-
nowierszowe;górnyindeksToznaczatranspozycjęmacierzy.
6Notacja:symbol„:=”oznaczadefinicję,czyliwielkośćstojącapolewejstroniejestdefiniowana
wyrażeniempoprawejstronietegosymbolu.
