Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.Preliminaria
Rzeczywistytrójmiankwadratowy(względemA)jestwszędzienieujemnytyl-
kowtedy,gdyniemarzeczywistychpierwiastkówlubjestjedenpierwiastek
podwójny(rzeczywisty),czyligdywyróżnik∆=(2x·g)2−4"g"2"x"2<0.
StądwynikanierównośćCauchy’ego–Schwarza.Stajesięonarównościąalbo
gdyx=0,albogdyg=ax,a∈R.Dalej,jeżelix+g=0,tonierówność
Minkowskiegojesttrywialniespełniona.Niechzatemx+g/=0,wtedy
"x+g"
2=(x+g)·(x+g)="x"2+"g"2+2x·g.
StosującnierównośćSchwarzax·g<|x·g|<"x"·"g",dostajemy
"x+g"
2<"x"2+"g"2+2"x"·"g"=("x"+"g")2j
ipierwiastkując,otrzymujemynierównośćMinkowskiego.Przechodziona
wrównośćalbodlax=0,albodlag=0,albodlag=axprzya>0.
Zauważmy,żewdowodzieniekorzystaliśmywogólezjawnejpostaciilo-
czynuskalarnego,atylkozzespołuwłasności(E).Dlategoteżwrozmaitych
przestrzeniachliniowych,zwłaszczawanaliziefunkcjonalnej,wprowadzasię
iloczynskalarnynaróżnesposoby,wymagającjedynie,bymiałwłasności(E);
częstoteżteiloczynynazywanesąeuklidesowymi.Wgeometriiwyróżniony
jestpowyższyeuklidesowyiloczynskalarny.Dodajmyrównież,żekolejność
nakładaniastrukturywektorowejitopologicznejjestdowolna.Oileniebę-
dziepowiedzianeinaczej,przezRnbędziemyrozumiećwektorowąprzestrzeń
euklidesową.
DEFINICJA1.2.WektorowaprzestrzeńeuklidesowaVnton–wymiarowa
rzeczywistaprzestrzeńliniowa,wktórejwprowadzonoeuklidesowyiloczynska-
larnywnastępującysposób:
Istniejewniejbazaortonormalna{Ei},czylitaka,żeiloczynyskalarnejej
wektorówsązdefinicjirówneEi·Ej=δij,gdzieδij=1dlai=joraz0
dlai/=j(jesttoznanyzalgebrysymbolKroneckera).Wtedydladowolnych
wektorówu=Σ
n
i=1uiEiorazu=Σ
n
i=1uiEiichiloczynskalarnywtejbazie
jestrówny
u·u=
Σ
i=1
n
uiui.
Normawektorajestrówna
"u":=√u·u.
WtejprzestrzeniobowiązująnierównościCauchy’ego–SchwarzaiMinkow-
skiego.
Uwaga1.1(terminologiczna).Nazwanskładowa”oznaczadwaspokrewnione,
leczróżnepojęcia.Należyrozróżniaćwektoryskładoweiskładowewektora.
Dowolnywektorumożemyrozłożyćnanskładowąrównoległą”uHinskła-
