Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.PrzestrzenieRniEn
21
dowąprostopadłą”u⊥dowybranegokierunkuwprzestrzeni,czylinapisać
u=uH+u⊥.Tenskładowe”wektorasąwektoramiipoprawnienależyjena-
zywaćwektoramiskładowymiwrozwinięciudanegowektoranapewnewyróż-
nionewektory;uproszczonanazwanskładowe”jestpopularnawfizyceelemen-
tarnej.Drugieznaczenienskładowych”narzucaalgebraliniowa.Tenwybrany
kierunekindukujebazęwektorowązbudowanązwektorówjednostkowychdo
siebieortogonalnychiwniejdanywektormarozłożenieu=u1E
H+u2E⊥,je-
goskładowymisąliczbyu1iu2.Ogólnie,składowymiwektorauwbazie{Ei}
sąliczbyu1,u2,...,unbędącewspółczynnikamiwrozwinięciutegowektora
wtejbazie,u=u1E1+u2E2+...+unEn.Będziemymówićwyłącznieoskła-
dowychwektora(oraztensora)ibędzietojednoznacznieoznaczaćciągliczb
związanychzkonkretnąbaząwektorowąprzestrzeniliniowej.Niektórzyauto-
rzyużywająterminunskładowe”wpierwszymznaczeniu(wektoryskładowe),
askładowewektoranazywająnwspółrzędnymiwektorawbazie”.Tęostatnią
nazwęuważamyzabardzomylącą;zob.uwagęnakońcupodrozdz.3.5.
1.4.1.AfinicznaprzestrzeńeuklidesowaEn
WprzestrzeniachRnpunktjesttożsamyzciągiemswoichwspółrzędnych.
Pojęcieprzestrzeniorazwzajemnychrelacjimiędzyfigurami(podzbiorami)
wprzestrzeniformułujemyzapomocągeometrycznychpunktów,któresąpier-
wotneiniezależneodwyboruichwspółrzędnych.Ideętęwelementarnejformie
wyrażaszkolnageometriasyntetyczna(takjakjąwElementachsformułował
Euklides),którawogólenieodwołujesiędowspółrzędnychioperujepunkta-
mi,liniamiipowierzchniami,aoperacjeliniowe(tzn.nawektorach)schodzą
nadalszyplan.Prototypemgeometriijestgeometriaeuklidesowa,gdyżnprze-
strzeńeuklidesowapreegzystujewformowaniusięnaszychczynnościumysło-
wych”8.To,cowszkolnejmatematycenazywamyngeometriąeuklidesową”,
awmatematycewyższej—przestrzeniąeuklidesową,jestfaktycznietrójwy-
miarowąafinicznąprzestrzeniąeuklidesową.Przestrzeńafiniczna9zbudowana
jestzpunktówiwektorów.Ogólnejdefinicjituniepotrzebujemy,łatwoją
odtworzyćzprzypadkueuklidesowego.
DEFINICJA1.3.Afinicznąprzestrzeniąeuklidesową
nazywamy
parę
(AjVn),gdzieAjestzbiorempunktówgeometrycznych(zwanychczasemzbio-
rembazowym),A={p},aVn={u}jeststowarzyszonązAeuklidesową
przestrzeniąwektorową,któradziaławAjakabelowa(tj.przemienna)grupa
przesunięćrównoległych,czylijestodwzorowaniemiloczynukartezjańskiego
A×VnnaApostaci:
każdemup∈Aikażdemuu∈Vnprzyporządkowanyjestpunktq∈A
równyq=p+u.
8RenéThom,„Matematykaarozumienie”,WiadomościMatematyczne23(1980–81),s.205.
9Złac.affinitas—pokrewieństwo,powinowactwo.Przekształceniaafinicznezachowująpodobień-
stwofigur.
