Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.Preliminaria
zpunktupdoq,czyliu=−
Znakn+”nieoznaczatudodawaniawektorów,leczprzesunięcieowektoru
→
pq,cozapisujemyteżjakou=q−p.Odwzorowanie
tomawłasności:
1)(p+u)+u=p+(u+u)dlakażdegop∈Aiuju∈Vn;
2)p+0=pdlakażdegop;
3)dlakażdejparypjq∈Aistniejejednoznacznywektoru∈Vntaki,że
q=p+u.
Wynikastąd:
spełniająrelację−
a)własnośćChaslesa10:dladowolnychpunktówp,qiTłączącejewektory
→
pq+−
→
qT+−
→
Tp≡q−p+T−q+p−T=0;
b)dlakażdegop,jeżelip+u=p,tou=0.
Odległośćdowolnychpunktówpjq∈Ajestrównadługościłączącegoje
wektorau=q−p,
d(pjq):="u"=√u·u.
Wymiaremprzestrzenieuklidesowej(AjVn)nazywamyliczbęnrównąwy-
miarowiprzestrzeniwektorowejVn.Afinicznąprzestrzeńeuklidesowąoznacza-
myEn=(AjVn).
PrzestrzeństowarzyszonaVnpozwaladotrzećdokażdegopunktup∈A,
wychodzączdowolniewybranegopunktupo.TymsamymcałyzbiórbazowyA
możnaodtworzyć,zadającjedenjegopunkt,A={p:p=po+u},gdziewek-
toryuprzebiegającałąVn,cozapisujemyrównoważnieA=po+Vn,azatem
En=(po+VnjVn).OznaczatoizomorfizmEniVn,atymsamymizomorfizm
EniRn—wsensieoperacjialgebraicznych,którewykonujemynaprzestrze-
nistowarzyszonej.Obieprzestrzeniesąalgebraicznieidentyczne,różnicajest
geometryczna.Istnienietegoizomorfizmusprawia,żewwielupodręcznikach
wektorowaprzestrzeńeuklidesowaRnjestutożsamianazafinicznąprzestrze-
niąEn.Rachunkowonieprowadzitodobłędów,natomiastpojęciowoniejest
poprawne,gdyżróżnicamiędzynimijestsubtelna,leczwyraźna:przestrzeń
Enjestcałkowiciejednorodna,czyliżadenjejpunktniejestwyróżnionyinie
maonanaturalnegonpoczątku”.PrzestrzeńRn,jakkażdaprzestrzeńwek-
torowa,mawyróżnionypunkt(wektor)0=(0j...j0).Corównieistotne,
przestrzeńafinicznanadajesensgeometrycznypunktom,uniezależniającjeod
współrzędnych.Abytensensuzyskać,wdefinicjiEnstosujesięogólnąwekto-
rowąprzestrzeńeuklidesowąVn,anieprzestrzeńRn.Rzeczywiście,wybierz-
mydwapunkty,piq,napłaszczyźnieeuklidesowej;wyznaczająonewektor
−
→
pq≡q−p.GdybyprzestrzeniąstowarzyszonąbyłaR2,towektortenbył-
bytożsamyzdwuelementowymciągiemliczb,np.(−3j8).Geometryczniejest
oczywiste,żeparapunktówprzestrzenieuklidesowej(ogólniej:afinicznej)de-
finiujewektorjakoodcinekskierowany,natomiastniewyróżniażadnegociągu
liczb.
10MichelChasles(1793–1880),francuskimatematyk,głównepracezgeometrii.
