Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.PrzestrzenieRniEn
23
WEnwprowadzamyukładwspółrzędnychafinicznych.Jesttopara
(Oj{Ei}),gdzieO∈Ajestdowolniewybranympunktem,zwanympunk-
tempoczątkowymukładuafinicznego,a{Ei},i=1j...jn,jestdowolnąbazą
ortonormalnąwstowarzyszonejprzestrzeniVn.Każdypunktp∈Amawtym
układziejednoznaczneprzedstawienie
p=O+u=O+
Σ
i=1
n
xiE
i.
Liczbyxi(składowewektorau)tworząciągwspółrzędnychafinicznychpunk-
tup.Jeżeliq=O+u+u,gdziewektoryuiumająodpowiednioskładowe(xi)
i(gi),toqmawspółrzędneafiniczne(xi+gi).Odległośćpunktówp1=O+u1
orazp2=O+u2jestrówna
r
|
n
d(p1jp2)="u2−u1"=
|
Σ
i=1
(ui
2−ui
1)2.
WprzestrzeniVnistniejenieskończeniewielebazortonormalnychiżadna
niejestwyróżniona,gdyżwodróżnieniuodRnniemaonabazynaturalnej.
Dowolnośćwyborubazyortonormalnejimożliwośćjejzmiany(zapomocątrans-
formacjiortogonalnej)pociągatransformacjewspółrzędnychafinicznychwEn.
AfinicznaprzestrzeńEnnadajegłębszysensznanymzelementarnegokur-
sugeometriianalitycznejpojęciomwektorówumiejscowionychiswobodnych.
Wektorumiejscowionytoodcinekskierowany−
→
pqłączącydwapunktynprze-
strzeni”,którąrozumiesięjakointuicyjniepojmowanąprzestrzeńeuklidesową.
Wektortakimatrzywłasności:długość,kierunekizwrot.Jeżelibierzemypod
uwagętylkotewłasnościipomijamypunktzaczepieniap,toistniejenieskoń-
czeniewieletakichsamychodcinkówskierowanych,którewzględemnichsą
równoważne:odcinki−
kierunekizwrot,cozapisujemy−
p1q1i−
−
→
p2q2sąrównoważne,jeżelimajątęsamądługość,
−
→
p1q1∼−
−
→
p2q2.Klasąrównoważnościodcinków
−
→
skierowanychnazywamyzbiórwszystkichodcinków,któresąwtymsensie
równoważne:[−
poqo]:={−
−
→
pq:−
→
→
pq∼−
poqo}.Klasęrównoważnościreprezentuje
−
→
dowolnyjejelement.Wektoremswobodnymnazywamyklasęrównoważności
odcinkówskierowanych.Zauważmy,żeabyokreślićdługośćodcinka,trzeba
miećpojęcieodległościpunktów,apojęciekierunkuodcinkajestintuicyjne;
tookreślenierównoważnościodcinkówjestniezadowalające.Pojęciemfunda-
mentalnymjestwektorumiejscowiony.WektorowąprzestrzeńRn,jakrównież
każdąwektorowąprzestrzeńVn,możemyprzedstawićjakozbudowanązwek-
torówumiejscowionychzaczepionychwpunkciewyróżnionym—wektorze0;
punktyprzestrzenitokońcetychwektorów.Zarazem,kiedyprzestrzeńVn
działajakgrupaprzesunięćrównoległychwafinicznejprzestrzenieuklidesowej
(AjVn),wtedyumiejscowionewektoryzVnstająsięswobodnymiwektorami
wA,jeżelibowiemq=p+uorazq!=p!+u,u∈Vn,tou=q−p=q!−p!,
czyliujestswobodnyjakoklasarównoważnościodcinkówskierowanych.