Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
1.Preliminaria
(
∂f
∂x)≡(
∂xk):=
∂fi
(
|
\
∂f1
∂fn
∂x1
∂x1
.
.
...
...
.
...
∂f1
∂xn
∂fn
∂xn
.
.
.
\
|
)
j
pochodnebierzemywpunkciex∈U.Dlaprzejrzystościzapisuelementytej
macierzyoznaczamyJi
kitrzymamysiękonwencji,żeindekslewy(górny)i
numerujewiersze,aindeksprawy(dolny)knumerujekolumnymacierzy.Jako-
bianemodwzorowaniafwx∈UnazywamywyznacznikmacierzyJacobiego:
Jf:=det(
∂xk)=
∂fi
l
l
l
l
l
l
l
∂f1
∂fn
∂x1
∂x1
.
.
...
...
∂f1
l
.
...
∂xn
∂fn
∂xn
.
.
.
l
l
l
l
l
l
.
Dlajakobianustosowanesąteżzapisy
det(
∂xk)j
∂gi
D(g1j...jgn)
D(x1j...jxn)
oraz
∂(x1j...jxn)
∂(g1j...jgn)
.
Odpowiedzinapytanieoodwracalnośćfudzielaznanezanalizy
TWIERDZENIEOFUNKCJIODWROTNEJ1.6.Niechf:U
→Rn
w
iU—otwartywRn.Jeżeli:
1)fjestklasyC1naU;
2)fjestróżnowartościowenaU;
3)jakobianJf(x)jestróżnyodzeranaU;
towtedy
a)f(U)jestzbioremotwartymwRn;
b)fjesthomeomorfizmemUnaf(U),tzn.istniejeodwzorowanieodwrotne
f11:f(U)
→Uijestciągłenaf(U);
na
c)odwzorowanieodwrotnef11jestklasyC1naf(U)imamacierzJaco-
biegorówną
(
∂f11
∂g)=[(
∂f
∂x)
l
lx=f−1(g)]
l
l
11
j
czylijesttomacierzodwrotnado(
∂f
∂x),wktórejnależypodstawićx=f11(g).
Jeżeliodwzorowaniefjestgładkie(klasyC∞),torównieżf11jestgład-
kie.
Wszystkiezałożeniatwierdzeniasąkonieczne,byzachodziłyjegotrzytezy.
Podajemytrzyprzykładysytuacji,gdyktóreśzzałożeńniejestspełnione.
Przykład1.2.Niechf:R2→R2danejestwzoremf(xjg)=(excosgj
exsing).JakobianJf/=0dlawszystkichxig,leczfniejestróżnowartościowe,
