Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.OdwzorowaniaprzestrzeniRn
25
Przykład1.1(homeomorfizmu).NiechUbędzieprostąrzeczywistą,−∞<
<x<+∞,aV—odcinkiemotwartym−1<g<1.Homeomorfizmf:
U
→Vdanyjestprzez
na
g=
π
2
arctgx.
Wdefinicjihomeomorfizmuzałożenieciągłościodwzorowaniaodwrotnegof11
jestistotne,ciągłośćbijekcjifnieimplikujebowiemciągłościf11.Zewzględu
napojęcierozmaitościróżniczkowej,kuktóremuzmierzamy,interesująnasod-
wzorowaniaciągłenazbiorachotwartychwRn.Zbiórotwartyispójny,czyli
taki,którynieskładasięzdwurozłącznychczęści,zktórychkażdajestzbio-
remotwartym,nazywamyobszarem.Zrozważańtopologicznych,którychtu
niemożemyprzytoczyć,opartychnatwierdzeniuBrouweraoniezmienniczości
obszaru12,wynika,żeprzykładilustrującynieciągłośćbijekcjiodwrotnejnie
możedotyczyćzbiorówotwartychwRn.Zwykleprzykładyodwołująsiędoto-
pologiiinnychniżnaturalnawRn,adlaRnztopologiąnaturalnąnależybrać
zbiorynieotwarte,awR1dziedzinafmusiponadtobyćniespójna.Weźmy
zatemzbiórD⊂R1złożonyzdwurozłącznychprzedziałów0<x<1oraz
2<x<3iokreślmynanimfunkcjęfrównąg=f(x):=xnapierwszym
znichirównąf(x):=x−1nadrugim.Funkcjatajestróżnowartościowa
iciągłanaD,aobrazemdziedzinyDjestprzedziałdomknięty[0j2].Funkcja
doniejodwrotnajestnatomiastnieciągławg=1.Przykładnieciągłościna
płaszczyźniepoznamyniecodalej.
Badamyterazodwzorowaniaróżniczkowalnef:U→V,gdzieUiV
sązbioramiotwartymiwRn,g=f(x).Odwzorowaniefmanwspółrzęd-
nychbędącychfunkcjamirzeczywistyminzmiennych,gi=fi(x1j...jxn),
i=1j...jn.OdwzorowaniefjestróżniczkowalneklasyCk,k>1,naU,jeże-
liwszystkiepochodnecząstkoweażdorzędukfunkcjiskładowychwzględem
wszystkichzmiennych,
∂xi1...∂xir
∂rfj
j
gdziej=1j...jn,T=1j...jkorazi1ji2j...jir=1j...jn,sąciągłenaU.
Najczęściejbędziemyrozpatrywaćodwzorowaniagładkie—klasyC∞.
Powstajepytanie,jakrozpoznać,czyodwzorowaniefjestodwracalneiczy
f11jestróżniczkowalnetejsamejklasy.Wtymceluwprowadzamymacierz
Jacobiegoijakobianodwzorowania.
MacierząJacobiegoodwzorowaniafwpunkciex∈Rnnazywamymacierz
pierwszychpochodnychjegofunkcjiskładowych,
12LuitzenEgbertJanBrouwer(1881–1966),matematykholenderski,głównepraceztopologii,
twierdzenietopodałw1912r.
