Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.Preliminaria
tryczną,np.wR3najczęstszątransformacjąjestprzejściedowspółrzędnych
sferycznych:
x=Tsinθcos0j
g=Tsinθsin0j
z=Tcosθj
gdzieT>0,0<θ<πi0<0<2π(zgodniezkonwencjąprzyjętąwfi-
zyce,kątθ=0nadodatniejpółosiOz,wliteraturzematematycznejczęsto
definiujesiękątbiegunowyjakoθ!=π/2−θ).Poniżejomawiamydokładnie
transformacjędowspółrzędnychbiegunowychnapłaszczyźnie.
JeżelinaU⊂Rnmamygładkąfunkcjęrzeczywistąg:U→R1,to
potransformacjiwspółrzędnychnaUzastępujemyjąfunkcjąokreślonąna
V:=f11(U);jestniąfunkcjazłożonag◦f:V→R1.Jeżelix=f(x!),to
(g◦f)(x
!)=g(f1(x!)jf2(x!)j...jfn(x!)).
Częstopiszesięskrótowog(x!),alewceluuniknięciapomyłeknależypamię-
tać,żex!sąwspółrzędnymikrzywoliniowymi.Podobniedokonujemyzamiany
zmiennychx→x!wkażdejwspółrzędnejodwzorowaniag:Rn→Rmdla
dowolnegowymiarum>1.Jeżelig:Rn→Rmjestodwzorowaniemgładkim
naU⊂Rn,topozmianiewspółrzędnychodwzorowaniezłożoneg◦fjest
gładkienazbiorzef11(U).
Uwaga1.3.Wniektórychpodręcznikach14podanajestuproszczonadefinicja
transformacjiwspółrzędnych,wprowadzanawprzestrzeniRn.WRnrozpatru-
jesiędwaobszary:Dxzewspółrzędnymi(x1j...jxn)iDzzewspółrzędnymi
(z1j...jzn).Jeżeliistniejedyfeomorfizm0:Dx
→Dz,czylixi=fi(zk)oraz
na
zk=(f11)k(xi),orazjeżeliobszarytesiępokrywają,Dx=Dz:=D,tody-
feomorfizm0:D
→DjestprzekształceniemobszaruDijesttransformacją
na
współrzędnych(xi)↔(zk).
Taintuicyjniejasnadefinicjabudziwątpliwości.Jeżeli(xi)i(zk)sąwspół-
rzędnymikartezjańskimiwRn,toniejestjasne,cotoznaczy,żeDx=Dz.
JeżeliobszarD:=Dx=Dzzdefiniujemygeometrycznie,np.jakokulęjednost-
kowąośrodkuwpunkcie0,toniejestjasne,cotoznaczy,żewtymobszarze
sądwaróżneukładywspółrzędnych—zakładasięto,conależyzdefiniować.
Wpraktyce,gdyobszarD⊂Rnjestokreślonygeometrycznie,każdydy-
feomorfizmDnaDmożnauznaćzatransformacjęwspółrzędnych.Alenie
naodwrót:jakzobaczymyponiżej,dlawspółrzędnychbiegunowych(Tj0)na
R2mamydyfeomorfizmpasaT>0,−π<0<+πnapłaszczyźniekarte-
zjańskiej(Tj0)napłaszczyznę(xjg)zusuniętąujemnąpółosiąOx.Ogólnie,
wdefinicjirozmaitościróżniczkowejtransformacjawspółrzędnychbędziezwy-
kledyfeomorfizmemróżnychobszarówwRn.
14NaprzykładB.Dubrovin,A.Fomenko,S.Novikov,ModernGeometry—MethodsandAppli-
cations,Springer,NewYork1992,p.4.1.
