Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.PrzestrzenieRniEn
17
tycznym.Jednakjednopolewektoroweniewystarczyimusimywprowadzić
twórogólniejszy,antysymetrycznytensornatężeniapolaelektromagnetyczne-
gookreślonywczterowymiarowejczasoprzestrzeni.Teniwieleinnychważ-
nychwzastosowaniachtensorówmożnaprzedstawićjakomacierzekwadratowe
owymiarzerównymwymiarowiprzestrzeni,wktórejsąokreślone.Zapomocą
takichtensorów(ściślej—póltensorowych)opisujemynaprężeniawskoru-
pieziemskiej(zmiennewmomencietrzęsieniaziemi),rozmieszczeniegęstości
energii,pęduiciśnieniawpłynącejcieczy(huraganlubfalemorskie)orazwła-
snościoptycznekryształów.Wsamejgeometriiokreślenieiloczynuskalarnego
wektorówiodległościpunktówbliskichwymagawprowadzeniasymetrycznego
tensorametrycznego,którytymsamymstajesięfundamentalnymobiektem
geometrycznymdladanejrozmaitości.Sąteżtensorybardziejzłożone,naj-
ważniejszymznichjesttensorkrzywiznydlarozmaitościzkoneksjąafiniczną.
Tradycyjnepodejściedotensorówopierałosięnapojęciuobiektugeome-
trycznego,któremunienadawanoprecyzyjnejtreściwpostaciaksjomatycznej
definicji,leczjedyniepodawanojegowłasnościtransformacyjneprzyzmianie
układuwspółrzędnych.Podejścietookazałosięniezadowalająceiobecnieten-
sorydefiniujesięjakoodwzorowaniawieloliniowe.Wtejksiążcebędziemyod
czasudoczasuposługiwaćsiępojęciemobiektu,nadającmuczystointuicyj-
nysens:jesttotwórmatematyczny,którymatreśćgeometryczną,awięcnie
jestcałkowiciezależnyodwyboruukładuwspółrzędnych.Doobiektówgeome-
trycznychzaliczamywszelkiefigurygeometryczne(to,czypunktyprzestrzeni
sąobiektami,jestkwestiąkonwencji),funkcje,odcinkiskierowane,wektory,
formyliniowe(odwzorowaniawektorówwliczby),jakrównieżmetodęprzesu-
waniarównoległegowektorazjednegomiejscawinneoraztensory.Tensorysą
takimuogólnieniemwektorówifunkcjirzeczywistych,żeróżniczkowaniepól
tensorowychjestjednoznacznieokreśloneprzezróżniczkowaniewektorów.
Przezrachunektensorowyrozumiemyzatemanalizętensorowąnadowol-
nejrozmaitościróżniczkowej.Najpierwtrzebazdefiniowaćrozmaitość.Robimy
tozapomocąprzestrzeniRn.Zaczynamyodprzypomnieniapotrzebnychtu
wiadomościzanalizy.
1.4.PrzestrzenieRniEn
WanaliziematematycznejwystępujekilkaróżnychprzestrzeniRnpowsta-
jącychprzeznakładaniedodatkowychstrukturnaprzestrzenieomniejszejlicz-
biewłasności.
•ArytmetycznaprzestrzeńRn.Jesttozbiórarytmetycznychciągównliczb
rzeczywistych,Rn={(x1jx2j...jxn):xi∈R},bezżadnejdodatkowejstruk-
tury.Ciągitenazywamypunktami,aliczbyxi,i=1j...jn,sąwspółrzędnymi
punktux=(xi)=(x1jx2j...jxn)∈Rn.ZbiórRnmastrukturęiloczynukar-
tezjańskiegonegzemplarzyzbioruliczbrzeczywistych,Rn=R×R...×R,
R1≡R.
