Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.Preliminaria
potransformacjijestreprezentowanyprzezinnyobszarwRn,będącydyfeo-
morficznymobrazempierwszego.Jeślidyfeomorfizmtenniejestliniowy,tonie
możnagointerpretowaćjakozmianybazywprzestrzenistowarzyszonej;nie
jesttoteżtransformacjawspółrzędnychpunktuwRn,boniemaonasensu.
TransformacjawspółrzędnychjestodwzorowaniempunktówwRnbędących
różnymireprezentacjamipunktuwEn.Wewspółrzędnychkrzywoliniowych
wektorowastrukturaprzestrzeniEnstajesięniejawna,bowiemterazrelacja
międzypunktempireprezentującymgopunktemx!wRnniemapostaci
p=O+x!.Abyczytelnierozróżnićobarodzajewspółrzędnych,bierzemydwa
egzemplarze(coniejestkonieczne)przestrzeniRn:Rn={(xi)},którątraktu-
jemyjakoprzestrzeństowarzyszonązEnorazR!
n={(x!k)},ijk=1j...jn.
NiechU⊂RniV⊂R!
nbędązbioramiotwartymiiniechf:V→U
będziedyfeomorfizmem.Odwrotnydyfeomorfizmf11przyporządkowujekaż-
demupunktowix∈Ujegoprzeciwobrazx!∈V,x!=f11(x).Współrzędne
kartezjańskiepunktux!sąwspółrzędnymikrzywoliniowymipunktup∈En
wyznaczonegoprzezpunktpoczątkowyOiwektorx,p=O+x.Ujmujeto:
DEFINICJA1.8.Krzywoliniowymukłademwspółrzędnychwotwartym
zbiorzeO+UwEnnazywamygładkidyfeomorfizmfzbioruV:=f11(U)
naU.ObszarVjestdziedzinąkrzywoliniowegoukładuwspółrzędnych.
NiechpunktxowUmawspółrzędnekartezjańskiea1ja2j...jan.Geome-
trycznieoznaczato,żenhiperpłaszczyznwspółrzędnych(mającychwymiar
n−1),danychkolejnorównaniamix1=a1,x2=a2,
...,xn=an,przecinasię
wpunkciexo(rys.1.2).Podobniepunktx!
owVmawspółrzędneb1jb2j...jbn,
gdyhiperpłaszczyznywspółrzędnychorównaniachx!1=b1j...jx!n=bn,prze-
cinająsięwtympunkcie.Niechxo=f(x!
o).Wtedyai=fi(b1jb2j...jbn),czyli
współrzędnekartezjańskiepunktupo=O+xosąfunkcjamijegowspółrzęd-
nychkrzywoliniowychb1j...jbn.(OczywiścieponiewyrażasięprzezO+x!
o,
bowektoryx!niewyznaczająstrukturyafinicznej).Wogólnościtransformacja
współrzędnychmapostaćxi=fi(x!1jx!2j...jx!n)—współrzędnenstare”są
funkcjaminnowych”współrzędnych.Wpraktyceczęstotransformacjęwspół-
rzędnychwyrażasięzapomocąodwzorowaniaf11,wtedynowewspółrzędne
sąfunkcjamistarych.
Dyfeomorfizmfprzekształcahiperpłaszczyznywspółrzędnychwobszarze
VwzakrzywionehiperpowierzchniewU(narys.1.2powierzchnietesązazna-
czoneliniamiprzerywanymi).Stądbierzesięnazwanwspółrzędnekrzywolinio-
we”.Sąonepowierzchniamistałychwartościwspółrzędnychkrzywoliniowych
x!k.Powierzchnieorównaniachx!k=bk,k=1j...jn,przecinająsięwpunkcie
xo,wyznaczającgeometryczniewspółrzędnekrzywoliniowepunktupo.
Transformacjawspółrzędnychmusibyćodwracalna,musiwięcbyćhome-
omorfizmem.PonieważwRnchcemymiećmożliwośćswobodnegoróżniczko-
waniarozmaitychfunkcjiitransformacjawspółrzędnychniemożetegopo-
psuć,wymagamy,bytenhomeomorfizmbyłdyfeomorfizmem(zwykległad-
