Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Preliminaria
Rysunek103
GeometrycznieodwzorowaniefdefiniujemyzapomocąpromieniaTikąta
0napłaszczyźnie(xjg),rys.1.3.Dlag=0ix>0(dodatniapółośOx)
mamy0=0,anaujemnejpółosiR1:={(xjg):x<0ig=0}mamy
0=±πzależnieodtego,czypodchodzimydoniejodgóry,czyoddołu,ta
półprostajestmiejscem(konwencjonalnym)nieciągłościkąta0jakofunkcji
punktunaR2.Odwzorowaniefjestzatemróżnowartościowedla−π<0<
+πorazzachodzif(Tj−π)=f(Tjπ),skądwynika,żepółprostaR1niejest
obrazemjakiejśkrzywejnaR2przyróżnowartościowymodwzorowaniu(1.1).
WycinamypółprostąR1zpłaszczyzny(xjg)izakładamy,żewspółrzędne
biegunowestosująsiędoobszaruU=R2−R1.Szukamyodwzorowaniaf11
iprzeciwobrazuV=f11(U),czylidziedzinyzmiennych(Tj0).Jakobian
∂(xjg)
∂(Tj0)
=
l
l
l
l
l
∂r
∂r
∂x
∂g
∂ϕ
∂ϕ
∂x
∂g
l
l
l
l
l
=T.
JesttodyfeomorfizmdlaT/=0.Zgodniezinterpretacjągeometrycznąwybie-
ramyprawączęśćpłaszczyznykartezjańskiej(Tj0),czyliT>0.Płaszczyznę
(xjg)dzielimynaczterykwadrantyosiamiOxiOg—sątozbioryotwar-
te(bezbrzegowychpółosi).BierzemynajpierwkwadrantI:x>0ig>0.
Z(1.1)mamyg/x=tg0>0,zatemwtymkwadrancieodwzorowanief11
mapostaćFI,
(Tj0)=FI(xjg)=(+dx2+g2jarctg
x).
g
(1.2)
Jeżelipunkt(xjg)leżywkwadrancieI,topunkt(−xj−g)należydokwa-
drantuIIIiodwzorowanieFIniejestróżnowartościowewobukwadrantach,
FI(−xj−g)=FI(xjg).Odwzorowaniaf11niemożnazatemwyrazićwcałym
