Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
miejscageometriiwcharakterzepodstawycałejmatematyki.
Ujawnionewtejteoriiantynomiezachwiałyjednakzaufaniemdo
niej.Chcąctozaufanieprzywrócićiugruntować,ratunkuzaczęto
szukaćwsformułowaniudlaniejaksjomatyki,któradałabyjej
niepodważalnąpodstawę,ajednocześniewykluczyłabyantynomie.
Ipoczynającod1908rokuteoriatazostałapoddanagruntownej
rekonstrukcji,wktórejpierwotna,naiwnajejpostaćotrzymałaszatę
aksjomatycznąwpostaciaksjomatykiAbrahamaFraenkla,później
zmodyfikowanejprzezErnstaZermeloiznanejdzisiajpodnazwą
aksjomatykiZermelo-Fraenkla,wskrócieaksjomatykiZF[19].
Wartotujednakzwrócićuwagęnaciekawywątek,którysię
wkrótcepojawił.OtowśródaksjomatówZF(Zermelo-Fraenkla)był
tzw.AksjomatWyboru,którygłosił:mającdowolnąniepustąrodzinę
zbiorówniepustychparamirozłącznychmożnazkażdegoztych
zbiorówwybraćpojednymelemencie,tworząctzw.selektor.
Aksjomatwyboruokazałsięwielcekłopotliwy,atrudnościznim
związaneprzypominajągreckiekłopotyzPostulatemRównoległych.
Zjednejstronyjestontaksilnyipotrzebny,żewwielusytuacjachnie
możnasiębezniegoobyć,zdrugiejjednakpociągaróżne
paradoksalnekonsekwencje,wtymnajbardziejmożeznanytzw.
paradoksalnyrozkładkuliBanacha-Tarskiego.Opierającsięna
uwadzeHausdorffaogrupieobrotówSO(3),pokazalioni,że3-
wymiarowąkulęmożnapodzielićnaskończeniewieleczęści,
zktórychmożnazłożyćdwietakiesamekule[20].Takżeitenparadoks
przyczyniłsiędotego,żewlatachdwudziestychXXwiekuwokół
AksjomatuWyborurozwinęłasięostraiżywadyskusja,astanowiska
silniesięspolaryzowały.Byłotozjawiskowmatematycenowe:
przedmiotsporubyłdlastroncałkowiciejasny,amimotostanowiska
okazałysiętakodmienne,żegroziłotorozbiciemmatematykina
tych,którzytenaksjomatakceptująinatych,którzygoodrzucają.
Dużeznaczenietegosporupolegałonatym,żedotyczyłondwóch
podstawowychpojęćwmatematyce:istnieniaizbioru.Zgrubsza
mówiącchodziłooto,czyzakryteriumistnieniajakiegośobiektu
wmatematycewystarczyuznaćjegoniesprzeczność,czyteżnależy
dodatkowożądaćpodaniasposobujegoskonstruowania.Atakże,czy
zazbiórmożnauznaćdowolnąkolekcjęobiektów,czytylkokolekcję
