Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
zbiorom
wyposażonym
wmetrykę,pozwalającąkażdejparze
elementówprzypisaćichodległośćwsposóbspełniającypewne
naturalne
warunki[22],
a
następnie
ogólnymprzestrzeniom
topologicznym,tj.zbioromzwyróżnionąrodzinątzw.zbiorów
otwartych,równieżspełniającąpewnewarunki[23].Teostatniewarunki
sątraktowanejakaksjomaty,awkonsekwencjiopartananich
topologiaogólnajestteoriąaksjomatyczną.
Topologiaogólnaprzenikatedziedzinymatematyki,wktórychjest
mowaogranicy,ciągłościitp.pojęciach,aleopróczogólnej
intensywniesięrozwijajątakżeinnetopologie,jaktopologia
algebraiczna,topologiarozmaitościitp.
Przykłademskutecznegozastosowaniametodyaksjomatycznej
wewnątrz
topologii
stało
sięzagadnieniewymiaru.Dolat
dwudziestychXXwiekuwymiarrozumianointuicyjnie,jednakże
rosnącarozmaitośćodkrywanychzbiorówiichzłożonośćsprawiły,
żerozumienieintuicyjneprzestałowystarczać.Potrzebnestałosię
precyzyjne
określenie
wymiaru,
co
stało
się
niezależnym
osiągnięciemKarlaMengerazWiedniaiPawłaUrysohnazMoskwy.
Teoriawymiarujestteoriąaksjomatyczną[24].
d)Analizafunkcjonalna,wtymteoriaprzestrzeniBanachaiteoria
przestrzeniHilberta.WXIXwiekuwmatematycezaczęłysię
pojawiaćzbiory,którychelementaminiebyłypunktyprzestrzeni
euklidesowej,leczobiektyzłożone:funkcje,ciągi,szeregiitp.,np.
C,
l2,L
2itp.Zbiorytakie,późniejnazwaneprzestrzeniamifunkcyjnymi,
miałystrukturęwyznaczonąprzeznaturęswoichelementów,np.
funkcjeciągłemożnadosiebiedodawaćitakasumajestnadal
funkcjąciągłą,możnafunkcjęciągłąpomnożyćprzezliczbę
rzeczywistąiteżbędzietofunkcjaciągłaitp.Badaniaprzestrzeni
funkcyjnychbyływażnedlaanalizymatematycznej,wktórejsię
pojawiły,alebudziłyteżzainteresowaniedlanichsamych.Okazało
się,żeprzestrzeniel2iL
2
sątakiesame(istniejemiędzynimi
izomorfizmzachowującyichwewnętrznestruktury).Budziłoto
naturalnedążeniedozdefiniowaniaogólnejprzestrzenifunkcyjnej
ibadanietakiejjednejogólnejprzestrzeni,cozastąpiłobyrozproszone
badaniakażdejszczególnejprzestrzenizosobna.Przyniosłobytonie
