Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
Rozdział2
∂
2
u
≈
u
i
−
1
−
2
u
i
+
u
i
+
1
(drugiilorazróżnicowycentralny).
(2.26)
∂
x
2
x
=
x
i
h
2
Laplasjanfunkcjidwóchzmiennych
∇
2
u
=
∂
∂
x
2
u
2
+
∂
∂
y
2
u
2
aproksymujesię
następującąróżnicąskończoną[72]:
∇
2
u
≈
u
i
+
1
,
j
−
u
i
,
j
+
u
i
−
1
,
j
−
u
i
,
j
h
+
2
u
i
,
j
+
1
−
u
i
,
j
+
u
i
,
j
−
1
−
u
i
,
j
=
(2.27)
=
h
1
2
(
u
i
+
1
,
j
+
u
i
−
1
,
j
+
u
i
,
j
+
1
+
u
i
,
j
−
1
−
4
u
i
,
j
)
.
Przydyskretyzacjirównańprezentowanychwkolejnychrozdziałach
przydatnybędzierównieżjawnyschematróżnicowydlanieliniowego
równaniaróżniczkowego,wktórymrównieżwspółczynnikdyfuzjic
występującyprzyfunkcjiujestzależnyodzmiennychx,y:
∂
u
(
x
∂
,
t
y
,
t
)
=
div
(
c
(
x
,
y
,
t
)
∇
u
(
x
,
y
,
t
)
)
.
(2.28)
PrzyjmującoznaczenieΦnafunkcjęstrumienia(oznaczeniejestużywane
wkonkretnychzastosowaniachrównaniawrozdziale2.5)
Φ
(
∇
u
()
x
,
t
)
=
c
()()
x
,
t
∇
u
x
,
t
(2.29)
możnawnastępującysposóbprzedstawićdyskretyzacjęrównaniaróżnicz-
kowego(2.28)dlaprzypadkujednowymiarowego[17]:
div
[
c
(
x
,
t
)
⋅
∇
u
(
x
,
t
)
]
=
∂
∂
x
⎛
⎜
⎝
c
()
x
,
t
⋅
∂
∂
u
x
⎞
⎟
⎠
≈
≈
∂
∂
x
⎡
⎢
⎣
c
()
x
,
t
⋅
1
h
⎛
⎜
⎜
⎝
u
⎛
⎜
⎝
x
+
h
2
,
t
⎞
⎟
⎠
−
u
⎛
⎜
⎝
x
−
h
2
,
t
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
≈
(2.30)
≈
h
1
2
⎡
⎢
⎣
c
⎛
⎜
⎝
x
+
h
2
,
t
⎞
⎟
⎠
⋅
(
u
(
x
+
h
)
−
u
()
x
)
−
c
⎛
⎜
⎝
x
−
h
2
,
t
⎞
⎟
⎠
⋅
(
u
()
x
−
u
(
x
−
h
)
)
⎤
⎥
⎦
=
Φ
R
−
Φ
L
,
przyzałożeniustałościkrokudyskretyzacjih.Dlasiatkipikselireprezentującej
obrazprzyjmujesięczęstokrokjednostkowy.Dlaprzypadkudwuwy-
miarowegootrzymujesię:
div
[
c
(
x
,
y
,
t
)
⋅
∇
u
(
x
,
y
,
t
)
]
=
=
∂
∂
x
⎛
⎜
⎝
c
(
x
,
y
,
t
)
⋅
∂
∂
u
x
⎞
⎟
⎠
+
∂
∂
y
⎛
⎜
⎜
⎝
c
(
x
,
y
,
t
)
⋅
∂
∂
u
y
⎞
⎟
⎟
⎠
=
(2.31)
