Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
Rozdział2
zastępowanyprzezpodobszarynazywaneelementamiskończonymi.Przyjmuje
się,żefunkcjaujestreprezentowanawewnątrzelementówskończonychprzez
odpowiedniwielomianinterpolacyjny,naktórynałożonesąokreślonewyma-
ganiadotyczącegładkości.Przybliżonerozwiązanierównaniajestopisane
jako:
u
()
⋅
=
u
0
()
⋅
+
∑
j
N
=
1
α
j
φ
j
()
⋅
,
(2.32)
gdzieNjestskończone,
u
0
()
⋅
jestfunkcjąspełniającąwarunekpoczątkowy,
a
φ
j
()
⋅
sąznanymifunkcjamianalitycznymi(tzw.funkcjebazowe).Zadanie
aproksymacjimetodąelementuskończonegopoleganatakimdoborzewspół-
czynników
α
j
,abyzminimalizowanybyłbłądpomiędzypostaciąprzybliżoną
(2.32),arozwiązaniemoryginalnegorównaniemróżniczkowym.
Wśródróżnychmetodelementuskończonegomożnawyróżnićmetodę
Galerkina.PrzypomocyproceduryGalerkinamożnarównieżprzekształcić
równanieróżniczkowecząstkowedoukładurównańróżniczkowychzwy-
czajnych,którychnumerycznerozwiązaniejestowielełatwiejsze.Realizacją
metodyelementuskończonegowsformułowaniuwariacyjnymjestmetoda
Ritza.Implementacjaprzedstawionychwpracymetodfiltracjiobrazówopiera
sięnametodachróżnicskończonych,więctatematykaniebędziedalej
rozwijana.Szczegółowyopismetodelementuskończonegomożnaznaleźć
w[60],[72].
2.4Przestrzennemetodyfiltracjiopartenaprocesie
dyfuzji
Wpoprzednichpodrozdziałachzostałoprzedstawionematematyczne
sformułowanieprocesówdyfuzyjnych.Procesyopisanerównaniamiróżnicz-
kowymicząstkowymimogąbyćzaadaptowanedoprzetwarzaniaobrazów.
Przedstawionezostanie,wjakisposóbprocestakimożebyćużytydofiltracji
orazjegopowiązanieztzw.wygładzaniem(rozmywaniem)gaussowskim.
Wszelkiemetodyfiltracjibazującenarównaniachróżniczkowych
cząstkowychsąrealizacjąnastępującegomodeluogólnego[1],[28]:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
∂
∂
u
u
∂
(
∂
(
n
r
x
x
t
⊥
,
,
t
t
)
)
=
+
F
0
(
x
,
u
(
x
,
t
),
∇
u
(
x
,
t
),
∇
2
u
(
x
,
t
)
)
=
0
na
w
Ω
∂
Ω
×
(
×
0
(
,T
0
,
T
)
,
)
,
(2.33)
⎪
⎪
⎩
u
(
x
,
0
)
=
u
0
(
x
)
na
Ω
,
