Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12Zadania
Wektorynależącedoprzestrzenidualnejω1ωuθunazywamywektoramidualnymilubjed-
noformami.Składowewektoradualnegotransformująsięwedługwzoru(1.D).Iloczynskalar-
ny(iloczynwewnętrzny)wektorówuiUdefiniujemyjako
ulU1guvu
uUv1uuUu.
Tensoremowalencji(m,n)wczasoprzestrzeniMinkowskiegonazywamyobiektpostaci
T1Tu1...um
v1...vn(x)eu
1⊗lll⊗eu
m⊗θv1⊗lll⊗θvn.
SkładowetegotensoratransformująsięwzględemprzekształceńLorentzawnastępującyspo-
sób
T′u1...um
v1...vn(x′)1Au1p
1...Aum
pm(Al1)σ1
v1...(Al1)
σn
vnTp1...pm
σ1...σn(x).
Wektorkontrawariantnyjesttensoremowalencji(1,0),awektorkowariantny(jednoforma)
jesttensoremowalencji(0,1).Tensormetrycznyjesttensoremsymetrycznymowalencji
(0,2).
•PrzekształceniaPoincarégo4(A,a)toprzekształceniabędącezłożeniemprzekształceniaLo-
rentzaitranslacji,tzn.
(A,a)x1Ax+a.
(1.E)
SątonajbardziejogólneprzekształceniaprzestrzeniMinkowskiego,któreniezmieniająinter-
wałumiędzydowolnymidwomawektorami,tzn.
(y′lx′)21(ylx)2.
•WpewnejreprezentacjielementygrupyPoincarégonieodbiegającezbytnioodprzekształcenia
tożsamościowegomożnaprzedstawićwpostaci
U(ω,6)1el
2Muvωuv+iPu6u,
i
(1.F)
gdzieωuviMuvsąodpowiednioparametramiigeneratoramipodgrupyLorentza,natomiast
6uiPusąparametramiigeneratoramipodgrupytranslacji.WłaściwościalgebryPoincarégo
sąprzedmiotemzadania1.11.
•TensorLevi-Civity6uvpσjesttensoremcałkowicieantysymetrycznym.Przyjmiemykonwen-
cję,wktórej601231+1.
1.1.Pokaż,żeprzekształceniaLorentzaspełniająwarunekATgA1g.Udowodnijtak-
że,żetworząonegrupę.
1.2.Pokaż,żeinfinitezymalneprzekształceniaLorentzamożnazapisaćwpostaci
Au
v1δu
v+ωu
v,
gdziemacierzparametrówinfinitezymalnychωuvjestantysymetryczna.
1.3.Udowodnijnastępującywzór:
6u;yδA
u
uA;
vAy
AAδ
σ16uvAσdetA,
gdzieAu
usąelementamimacierzyA.
1.4.Udowodnij,żesymbolKroneckeraδσ
pisymbolLevi-Civity6uvpσsąniezmiennicze
względemprzekształceńLorentza.
4PrzekształceniaPoincarégoczęstonazywasięniejednorodnymiprzekształceniamiLorentza.
