Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.SymetriawzględemprzekształceńLorentzaiPoincar´
ego13
1.5.Udowodnijnastępującąrelację:
6uvpσ6u;yδ1l
|
|
|
|
|
|
|
δv
δp
δσ
δu
u
u
u
u
δu
δp
δσ
δv
;
;
;
;
δu
δp
δσ
δv
y
y
y
y
δu
δσ
δv
δp
δ
δ
δ
δ
|
|
|
|
|
|
|
.
Następnieoblicznastępującezwężenia:6uvpσ6u;yδ,6uvpσ6uvyδ,6uvpσ6uvpδ,6uvpσ6uvpσ.
1.6.Wprowadźmyoznaczeniaσu1(I,σ),¯
σu1(I,lσ),gdzieIoznaczamacierz
jednostkową,aσsąmacierzamiPauliego5.ZdefiniujmymacierzX1xuσu.
(a)Pokaż,żeprzekształcenie
X→X′1SXS†,
gdzie6S∈SL(2,C),opisujeprzekształcenieLorentzaxu→Au
vxv.Innymisło-
wy,istniejehomomorfizmmiędzygrupąwłaściwychortochronicznychprzekształ-
(b)Pokaż,żexu11
ceńLorentza7agrupąSL(2,C).
2tr(¯
σuX).
1.7.Udowodnij,żeAu
v11
2tr(¯
σuSσvS†)iA(S)1A(lS).Tadrugarelacjapokazuje,
żeprzyporządkowanieniejestjednoznaczne.
1.8.ZnajdźmacierzeMuvgeneratorówgrupyLorentzawreprezentacjistandardowej,
zdefiniowanejrelacją(1.C).
1.9.Udowodnij,żezezwiązkówkomutacyjnychdlaalgebryLorentza
[Muv,Mpσ]1i(guσMvp+gvpMuσlgupMvσlgvσMup),
wynikająnastępującerelacje:
[Mi,Mj]1i6ijlMl,
[Ni,Nj]1li6ijlNl,
[Mi,Nj]1i6ijlNl,
gdzieMi11
26ijkMjk,aNk1Mk0.Pokażnastępnie,żewprowadzająckombinacje
linioweAi11
2(Mi+iNi)orazBi11
2(MiliNi),otrzymujesięnastępującezwiązki:
[Ai,Aj]1i6ijlAl,
[Bi,Bj]1i6ijlBl,
[Ai,Bj]10.
Jesttodobrzeznanywynik,któryobrazujezwiązekmiędzyalgebrąLorentzaa„dwiema”
algebramiSU(2).NieprzywiedlnereprezentacjegrupyLorentzamożnasklasyfikowaćza
pomocądwóchliczbkwantowych(j1,j2),którewywodząsięwłaśnieztychdwóchgrup
SU(2).
5MacierzePauliegomająnastępującąpostać:
σ11(01
1
0),σ21(0li
i
0),σ31(10
0
l1).
6GrupaSL(2,C)togrupazespolonychmacierzy2×2owyznacznikurównym1.
7WłaściweortochroniczneprzekształceniaLorentzaokreślonesąprzezwarunki:A0
0≥1,detA11.
