Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14Zadania
1.10.PrzekształceniePoincarégo(A,a)jestzdefiniowanenastępująco:
x′u1Auvxv+au.
Znajdźgrupoweprawoskładaniadlatychprzekształceń,tzn.określparametryprze-
kształceniabędącegozłożeniem(A1,a1)(A2,a2).Znajdźnastępnieelementneutralny
ielementodwrotnywtejgrupie.
1.11.(a)Sprawdź,żewgrupiePoincarégoobowiązujenastępująceprawoskładania:
Ul1(A,0)U(1,6)U(A,0)1U(1,Al16).
Pokażtakże,żeztegoprawawynika,iż
Ul1(A,0)PuU(A,0)1(Al1)vuPv.
Obliczkomutator[Muv,Pp].
(b)Udowodnij,że
Ul1(A,0)U(A′,0)U(A,0)1U(Al1A′A,0),
anastępnieobliczkomutator[Muv,Mpσ].
(c)Udowodnij,żegeneratorytranslacjikomutujązesobą,tzn.[Pu,Pv]10.
1.12.Rozważmyreprezentację,wktórejwektoryxzprzestrzeniMinkowskiegomają
postać(x,1)T,natomiastelementy(A,a)grupyPoincarégosąmacierzami5×5postaci
(Aa
0
1).
Sprawdź,żegeneratorywtejreprezentacjispełniajązwiązkikomutacyjneznalezione
wpoprzednimzadaniu.
1.13.ZnajdźgeneratorygrupyprzekształceńPoincarégopolaskalarnego8.Udowodnij,
żespełniająonezwiązkikomutacyjnewyprowadzonewzadaniu1.11.
1.14.WektorPauliego–LubańskiegotowektorzdefiniowanyjakoWu11
26uvAσMvAPσ.
(a)Pokaż,żeWuPu10i[Wu,Pv]10.
(b)Pokaż,żeW21l1
2MuvMuvP2+MuσMvσPuPv.
(c)Udowodnij,żeoperatoryW2iP2komutujązgeneratoramigrupyPoincarégo.Sąto
tzw.operatoryCasimira.Zoperatorówtychkorzystasięprzyklasyfikacjinieprzy-
wiedlnychreprezentacjigrupyPoincarégo.
1.15.Pokaż,że
W2|I10,m,s,σ>1lm2s(s+1)|I10,m,s,σ>,
gdzie|I10,m,s,σ>jestwektoremstanucząstkiomasiem,pędzieI,spiniesirzu-
ciespinunaośzrównymσ.NieprzywiedlnereprezentacjegrupyPoincarégomożna
sklasyfikowaćwedługmasyispinu.
8Poleskalarnetransformujesięwzględemtychprzekształceńwedlereguły0′(Ax+a)10(x).
