Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
2.3.Mechanika(zwanatakże„analitycznądynamiką”)
15
sąkrzywe(całkowe)polaX(wektorstycznydotakiejkrzywejwpunkciep∈Mjest
równyX(p)).RozmaitośćP,rozwarstwionanaorbity(określoneprzezkrzywepoleX),
nazywasię„portretemfazowym”polaX.
NiezwykleambitnyprogramPoincarégopolegałnaklasyfikacjiwszystkichportre-
tówfazowychzdokładnościądodyfeomorfizmówrozmaitościPzachowującychzo-
rientowaneorbity.Wtakimproblemie,jakzagadnieniestabilnościdlanciałtrzebabadać
całyportretfazowy,wszczególnościzachowaniesięorbitdladużychwartościparametru
(czasu).Innymisłowy,należybadaćcałąprzestrzeńfazowąP.DoprowadziłotoPoinca-
régownaturalnysposóbdozagadnieńtopologicznychianalizyglobalnej.Wmechanice
rozmaitośćróżniczkowalnaPwyposażonajestwformęsymplektycznąω,tzn.formę
różniczkowąstopnia2,zamkniętą(dω=0)iniezdegenerowaną.Para(P7ω)nazywa
sięrozmaitością(lubstrukturą)symplektyczną,aautomorfizmyF:(P7ω)→(P7ω)
tzn.dyfeomorfizmyF:P→P,takieżeF∗ω=ω,nazywasię(zgodniezpropozycją
Weyla)odwzorowaniamisymplektycznymilubkanonicznymi.Zachodziważne
203010TWIERDZENIE(Darboux)0Niech(P7ω)będzie2k-wymiarowąrozmaito-
ściąsymplektyczną.Wtedywotoczeniukażdegopunktuistniejemapa
κ:U→R2k7κ(x)=(q17...7qk7p17...7pk))
taka,że
ω=
Σ
i=1
k
dqi∧dpi.
I
203020DEFINICJA0Niech(P7ω)będzierozmaitościąsymplektyczną,aH:P
→R—funkcjąróżniczkowalną.PolewektoroweXHnaP,określoneprzeztożsamość
—zewzględunapolewektoroweYnaP
ω(XH7Y):=dH·Y
(innyzapis:=(dH7Y>)
nazywasięhamiltonowskimpolemwektorowymmającymhamiltonian(funkcjęener-
gii)H.Czwórka(P7ω7H7XH)nazywasięukłademhamiltonowskim.
Używającmapykanonicznej,wykazujesięłatwo
203030TWIERDZENIE
(i)Niech(q17...7qk7p17...7pk)będziemapąkanonicznądlaω,gdzie
(P7ω7H7XH)jestukłademhamiltonowskim.Wtedyt→(q(t)7p(t))jestkrzywącał-
kowąpolaXHwtedyitylkowtedy,gdyzachodząrównaniakanoniczneHamiltona
dqi
dt
=
∂H
∂pi
7
dpi
dt
=1
∂H
∂qi
7
i=1727...7k.
(H)
(ii)Gdyt→c(t)jestkrzywącałkowąpolaXH,wtedyfunkcjat→H(c(t))jest
stała.Innymisłowy,funkcjaenergiiHjeststałanakażdejkrzywejcałkowejpolaXH
(tzn.jest„całkąpierwszą”XH).
