Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
16
2.Wspólnepoczątkimatematykiifizyki
(iii)NiechΩ=ω∧···∧ω(kczynników)będzie2k-formą,zwanąfazowąformą
objętościrozmaitości(P7ω),iniechtI→Ft,będzieprzepływemwyznaczonymprzez
XH.WtedyF∗
tω=ω,awięcF∗
tω=Ft(ω∧···∧ω)=Ωdlakażdegot∈R.Zatem
przepływFtzachowujemiaręł(Liouville’a)określonąprzezformęΩ.
I
Punkt(ii)powyższegotwierdzeniawyrażaprawozachowaniaenergii,apunkt(iii)
nazywasiętwierdzeniemLiouville’a.Jestterazjasne,skądwywodząsięabstrakcyjne
„przepływyzachowującemiarę”,rozpatrywanewtopologicznejdynamiceiteoriiergo-
dycznej.
Widzimywięc,żewmechanicestanukładuopisanyjestprzezpunkts∈P,aewo-
lucjaukładuokreślonajestprzezjednoparametrowąrodzinęautomorfizmówprzestrzeni
(P7ω).
Okołoroku1930B.O.Koopmanzauważył(zapewnewzwiązkuzaksjomatycznym
sformułowaniemmechanikikwantowejprzezvonNeumanna),żepowyższyobrazmoż-
nasformułowaćwjęzykuprzestrzeniHilberta.
NiechH=L2(P7ł)będzieprzestrzeniąfunkcjiw:P→Ccałkowalnychzkwa-
dratemwzględemmiaryLiouville’ał.Każdaw∈Hojednostkowejnormieokreśla
miaręprobabilistycznąνw:=|w|2ł.GdyA(x),x∈Pjestobserwablą(mierzalną
funkcjąrzeczywistą),wtedywartośćoczekiwanatejobserwabliwyrażasięwzorem
E(A)=∫
A(x)|w(x)|2dł(x)=(Aw|w)7
P
gdzieAjestsamosprzężonymoperatoremmnożeniaprzezfunkcjęA(X),tzn.(Aw)(x)
:=A(x)·w(x).DynamikaFt:P→Pnaprzestrzenifazowejokreślajednoznacznie
dynamikęnaH,jakojednoparametrowągrupęoperatorówUt:H→H,określonych
wzorem
(Ut7w)(x):=w(Ft7(x)).
Operatorytesąunitarne,gdyżzzachowywaniamiaryLiouville’aprzezFtwynika,
żedlakażdychw7~
w∈H
(Ut7w|Ut7~
w)=∫
w(Ft(x))~
w(Ft(x))dł(x)=
P
=∫
P
w(x)~
w(x)dł(x)=(w|~
w).
TakwięcrodzinaUtjestreprezentacjąunitarnąosiR.ZkoleivonNeumannpo
przeczytaniurękopisuKoopmana(naskuteksugestiiA.Weila),mającdodyspozycji
właśnieudowodnionesłynne
203040TWIERDZENIESTONE’A(1931)0Każda(ciągła)reprezentacjaunitarna
(Ut7H)osiRmajednoznacznąpostać
Ut=e
itA=∫
R
eitAdPA(A)7
