Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
2.3.Mechanika(zwanatakże„analitycznądynamiką”)
17
gdziePAjestmiarąspektralnąwyznaczającą(iwyznaczanąprzez!)operatorsamosprzę-
żonyA,
wykazałpierwszefundamentalne
203050TWIERDZENIEERGODYCZNE(vonNeumann,1932)0Dlakażdegow∈
T
L2(P7ł)=H„średniaczasowa”wT=1
T
∫
w◦FtdtdążydlaT→∞(wsensiezbież-
0
nościwprzestrzeniHilberta)dow∗∈L2(P7ω)orazw∗◦Ft=w∗.Jeślił(P)<∞
idziałanieFtnaPjest„metrycznietranzytywne”(tzn.niemał-mierzalnychFt-nie-
zmienniczychzbiorównaPopróczzbiorówmiaryzeroiichdopełnień),tow∗jeststała:
w∗=
ł(P)∫
1
w(x)dł(x)
(ł—prawiewszędzie).
P
(1)
I
Przypomnijmytujednozesformułowańtwierdzeniaspektralnego1,odgrywające
istotnąrolęwtwierdzeniuStone’a.
Twierdzeniespektralne.Miaryrzutowe.Gdy(H7(·|·))jestzespolonąprzestrzeniąHil-
berta,wtedykażdejpodprzestrzenidomkniętejF⊂Hprzyporządkowanyjestoperator
PFrzutowaniaprostopadłego(ortogonalnego)naF.Wykazujesięłatwo,żeoperatorP
wHjestrzutemortogonalnymwtedy,gdyjest
1◦idempotentnyP◦P=P,
2◦hermitowskiP∗=P.
WówczasP=PF,gdzieF=P(H).Sprawdzasiędalej,żeH=P(H)⊕
(id1P)(H),czyliżePokreślarozkładHnasumęprostąortogonalnychpodprzestrzeni
F=P(H)iFi=(id1P)(H).ZtegowzględudomkniętepodprzestrzeniewHmożna
utożsamiaćzoperatoramirzutuortogonalnego.
I
Rozważanianad(matematycznymi)podstawamimechanikikwantowej(patrzniżej)
doprowadziłydopojęciamiaryowartościachwzbiorzeoperatorówrzutowych(miara
rzutowa).Niech(X7b)będzieprzestrzeniątopologicznązwyróżnionąσ-algebrąbzbio-
rówborelowskichwX(bjesttonajmniejszaσ-algebrazawierającawszystkiezbio-
ryotwarte).NiechHbędzieprzestrzeniąHilberta.Wtedyodwzorowanieb3E
→
P
P(E)∈{operatoryrzutowewH}owłasnościach
a)P(X)=id,
b)dlakażdegociąguEi∈bzbiorówparamirozłącznych
∞
∞
P(
U
Ei)=
Σ
P(Ei)(zbieżnośćpunktowa)
i=1
i=1
nazywasięmiarąrzutową.
1Por.art.AnalizafunkcjonalnawksiążceLeksykonmatematyczny(WiedzaPowszechna,Warszawa
1993).
