Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
Funkcja1/sin(1/z)jestklasycznymprzykłademfunkcji,któramanieizolowany
punktosobliwy.Zauważmy,żesin(1/z)=0dla(1/z)=nπ,czylidlaz=1/nπ,
gdzien=0,±1,±2,...Punktz=0jestpunktemosobliwym,niejestjednakizolo-
wany,gdyżniezależnieodtego,jakmałeδwybierzemy,wnakłutymδ-otoczeniuz=0
będzienieskończeniewielepunktówosobliwych.Dalejzajmiemysięjedynieizolowa-
nymipunktamiosobliwymi.
Jeżeli
dla
pewnej
liczby
naturalnej
n
istnieje
(skończona)
granica
limz→z
0(z–z0)nf(z)=a/=0,topunktz
0nazywamybiegunemrzędun.Naprzy-
kładpunktz=1jestbiegunemrzędu2funkcjif(z)=1/(z–1)2.Biegunrzędu1,taki
jakpunktz=2dlafunkcjif(z)=1/(z–2),nazywamybiegunemprostym.
PRZYKŁAD4
Wyznaczmywszystkiebiegunyfunkcji
f(z)=
z4–2z3+2z2–2z+1
2z+1
.
Rozwiązanie:ZapomocądowolnegoprogramuCASmożemystwierdzić,żepierwiastkamimia-
nownikasąz=i,–i,1,1,funkcjaf(z)mawięctrzybieguny:dwabiegunyprostewioraz–i
orazbiegunrzędu2wpunkcie1.
Równieżpunktyrozgałęzieniauważamyzapunktyosobliwe.Wielokrotniejuż
wspominaliśmy,żefunkcjalnzmapunktrozgałęzieniawz=0.Punktyrozgałęzienia
sązwiązanezfunkcjamiwielowartościowymiisąprzykłademnieizolowanychpunktów
osobliwych.Szczególnąwłasnościąpunkturozgałęzieniaz0jestto,żegdyobiegamyz0
popewnym(dostateczniemałym)okręguwokółz0,funkcjazmieniasięwsposóbciągły,
podokonaniupełnegoobrotuniewracajednakdowyjściowejwartości.Korzystającztej
wyróżniającejpunktyrozgałęzieniawłasności,możemywykazać,żez=0jestjedynym
punktemrozgałęzieniafunkcjilnz.Narysunku18.4przedstawiononapłaszczyźnieze-
spolonejpunktz0/=0orazobiegającygookrąg.Punktzobiegającyz0pookręgunie
przechodziprzezcięciepłaszczyznyzespolonejzwiązanezfunkcjąlnz,więczarówno
|z|,jaki9wracająpoobiegnięciuz0dopierwotnejwartościiwartośćfunkcjilnzpo
pełnymobrocienieulegazmianie.Dlaz0=0okrągmusiprzeciąćcięciepłaszczyzny,
więcczęśćurojonalnzzmieniasięo2πpoobiegnięciuprzezzpunktu0pookręgu.
Punktz0=0jestwięcpunktemrozgałęzieniaifunkcjalnzniemainnychpunktów
rozgałęzienia.
PRZYKŁAD5
Czyfunkcjaf(z)=zβmadlaβcałkowitegopunktrozgałęzienia?Adlaβniecałkowitego?
Rozwiązanie:Jedynymkandydatemnapunktrozgałęzieniajestz=0.Abyzbadaćcharaktertego
punktu,zapiszemyf(z)wpostaci
f(z)=eβlnz=eβlna+βi9,
