Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.2.RÓŻNICZKOWANIE.RÓWNANIACAUCHY–RIEMANNA
7
18.Wjakichpunktachfunkcjaf(z)=
ł
z
[
l
0
Re(z)
z/=0
z=0
jestciągła?
19.Zbiegajączzdozerapoprostejy=mxdlastałegom,wykaż,żegranicalimz→0(z∗/z)nie
istnieje.
20.Wykaż,żelim
z4cosh
z
=
√3π4
.
z→iπ/2
3
32
18.2.RÓŻNICZKOWANIE.
RÓWNANIACAUCHY–RIEMANNA
Definicjapochodnejfunkcjizmiennejzespolonejjestpodobnadodefinicji,zjakiejko-
rzystamywprzypadkufunkcjirzeczywistych.Pochodnąfunkcjif(z)wpunkciez0de-
finiujemyjako
f,(z
0)=lim
z→z0
f(z)–f(z0)
z–z0
,
(2.1)
oilegranicataistnieje.Oczywiściefunkcjaf(z)musibyćokreślonawotoczeniupunktu
z=z0.Abygranicawrównaniu(2.1)istniała,musibyćniezależnaodsposobu,wjaki
zzbliżasiędoz0.
Naprzykładjeżelif(z)=1/z,to
f,(z
0)=lim
z→z0
1/z–1/z0
z–z0
=lim
z→z0
zz0(z–z0)
z0–z
=–
z2
1
0
.
Wtymprzypadkuf,(z
0)istniejedlawszystkichwartościz0zwyjątkiemz0=0.
PRZYKŁAD1
Dlajakichwartościz=z0istniejepochodnaf,(z)funkcjif(z)=f(x+iy)=2x+3iy?
Rozwiązanie:
f,(z)=lim
z→z02
(x–x0)+3i(y–y0)
(x–x0)+i(y–y0)
=lim
z→z02
(x–x0)2+3(y–y0)2+i(x–x0)(y–y0)
(x–x0)2+(y–y0)2
.
Przyjrzyjmysięgranicyczęścirzeczywistejwyrażeniawnawiasiekwadratowym.
(x,y)→(x0,y0)2
lim
(x–x0)2+3(y–y0)2
(x–x0)2+(y–y0)2.
Jeżeliprzejdziemynajpierwzxdox0,granicabędzierówna3.Jeżelizaśprzejdziemynajpierw
zydoy0,granicąbędzie2.Wzwiązkuztymgranicanieistniejeifunkcjaf(z)=2x+3iynie
jestnigdzieróżniczkowalna.
