Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
Wpierwszympodrozdzialezdefiniujemygranicęiciągłośćfunkcjizmiennejze-
spolonej,codoprowadzinaswpodrozdziale18.2dodefinicjipochodnejfunkcjif(z).
Następniewpodrozdziałach18.3i18.4poznamydwaważne(iłatwedostosowania)
twierdzeniacałkowe.Wpodrozdziale18.5zbadamyszeregTaylorafunkcjizmiennej
zespolonej,anastępnieszeregiLaurenta,awięcszeregipostaci
F(z)=
Σ
n=0
∞
an(z–a)
n+
Σ
n=1
∞
(z–a)n
bn
.
Zauważcie,żeszeregLaurentajestszeregiemzarównorosnących,jakimalejącychpotęg
zmiennejz–a.Nakoniec,wpodrozdziale18.6,poznamytwierdzenieoresiduach,za
pomocąktóregomożnaobliczyćnietylkocałkizfunkcjizmiennejzespolonej,aletakże
całkizfunkcjirzeczywistych.
18.1.FUNKCJE,GRANICEICIĄGŁOŚĆ
Przyjmijmyjakozmiennązespolonąz=x+iy,gdzieliczbyxiysąrzeczywiste.Je-
żelimamyregułęprzypisującąjednąlubwięcejwartościzmiennejzespolonejwkaż-
dejzwartościz,mówimy,żewjestfunkcjązmiennejzizapisujemyw=f(z).Ponie-
ważzmiennawjestzespolonaizależy,poprzezz,odxiy,częstozapisujemyzależność
w=f(z)jako
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
(1.1)
gdzieu(x,y)iv(x,y)sąfunkcjamirzeczywistymizmiennychxiy.Jeżelijednejwarto-
ścizodpowiadadokładniejednawartośćw,tozależnośćw=f(z)nazywamyfunkcją
jednowartościowązmiennejz,natomiastgdyjednejwartościzodpowiadawięcejniż
jednawartośćw,mamydoczynieniazwielowartościowąfunkcjązmiennejz.Funkcję
wielowartościowąmożemytraktowaćjakorodzinęfunkcjijednowartościowych.Przyj-
rzyjmysięnaprzykładdwuwartościowejfunkcjif(z)=z1/2.Charakterobuwartości
f(z)możemyzbadać,przedstawiającwwpostacibiegunowej:
w=f(z)=z1/2=r1/2ei9/2,
gdzier1/2>0.Dla9=0mamyw=r1/2.Gdy9rośnieod9=0wkierunku
przeciwnymdoruchuwskazówekzegara,wzmieniasięjakr1/2ei9/2.Popełnymobrocie
9=2π,aw=r1/2eiπ=–r1/2.
Zfunkcjif(z)=z1/2możemyotrzymaćfunkcjęjednowartościową,wprowadza-
jąccięciepłaszczyznyzespolonej,takjaktopokazanonarysunku4.27(rysunekten
powtarzamyjakorys.18.1).Wielowartościowąfunkcjęf(z)=z1/2rozdzieliliśmyna
dwiefunkcjejednowartościowezapomocącięciawzdłużdodatniejpółosiosix.Gdy
9przekraczacięcie,przechodzimyodjednej(jednowartościowej)gałęzifunkcjif(z)
dodrugiej.Dlapierwszejgałęzi0≤9<2π,adladrugiej2π≤9<4π.Przekro-
czeniecięcia(9przechodząceprzez2π)oznaczaprzejścieodw=+|z1/2|=r1/2do
w=–|z1/2|=–r1/2.Gdy9przechodziprzez4π,funkcjapoprostuwracaoddrugiej
gałęzidopierwszej.
