Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział18
FUNKCJEZMIENNEJ
ZESPOLONEJ—TEORIA
Wrozdziale4omówiliśmyliczbyzespoloneifunkcjezmiennejzespolonej,przyjrze-
liśmysięrównieżkilkuprzykładom,wktórychwłasnościfunkcjizmiennejzespolonej
z=x+iywpewiensposóbobjaśniałyzachowaniefunkcjif(x)jakofunkcjizmiennej
rzeczywistejx.Naprzykładszereg
f(x)=
1+x2
1
=1–x2+x4–x6+···
|x|<1
maprzedziałzbieżności–1<x<1,pomimożefunkcjapolewejstronierówności
jest„przyzwoitą”funkcjądlawszystkichwartościzmiennejx.Ponieważfunkcjaf(x),
traktowanajakofunkcjazmiennejzespolonej:
f(z)=
1+z2
1
,
maosobliwośćwpunktachz=±i,więcmusimyograniczyćwartościzdokołajed-
nostkowegoośrodkuwpoczątkuukładuwspółrzędnychidlategowartośćx,jakoczęść
rzeczywistaz,jestograniczonadoprzedziału–1<x<1.
Innyprzykładsugerujący,żewłasnościfunkcjizmiennejzespolonejmogątłumaczyć
własnościfunkcjirzeczywistych,zostałpokazanywpodrozdziale12.2,gdziezauważy-
liśmy,żedługośćpromieniazbieżnościszeregupotęgowegowokółpunktux0,będącego
rozwiązaniemrównaniaróżniczkowego,jestconajmniejtaka,jakodległośćmiędzyx0a
najbliższympunktemosobliwymrównania,niezależnieodtego,czybyłtorzeczywisty,
czyzespolonypunktosobliwy.
Okazujesię,żeanalizafunkcjizmiennejzespolonejjestjednąznajbogatszychdzie-
dzinmatematykistosowanej.Wtymrozdzialepoznamyogólnewłasnościfunkcjizmien-
nejzespolonej.Niektóreztychwłasnościsąwarteszczególnejuwagi.Przekonamysię,
żejeżelifunkcjaf(z)mawpewnymobszarzepłaszczyznyzespolonejpierwsząpo-
chodną,tojestwnimnieskończeniewielerazyróżniczkowalna.Cowięcej,okażesię,
żejeżelif(z)jestróżniczkowalnanakrzywejzamkniętejwpłaszczyźniezespolonej,to
wartościf(z)wobszarzeograniczonymtąkrzywąsąwyznaczoneprzezwartościf(z)
nakrzywej.
