Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
17.Sklasyfikujpunktyosobliwefunkcji
(a)
sinz1/2
z1/2
,
(b)sec
1
z
.
18.Wykaż,żefunkcja1/sinzmabiegunyprostewpunktachz=nπ,n=0,±1,±2,...
19.Wykaż,że
df
dz
=
∂u
∂x
+i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
–i
∂u
∂y
.
20.Wykaż,żerównaniaCauchy–Riemannasąwarunkiemdostatecznymnato,byfunkcjaf(z)
byłaróżniczkowalna.Zapisznajpierw
f(z)–f(z0)
z–z0
=
[u(x,y)–u(x0,y0)]+i[v(x,y)–v(x0,y0)]
z–z0
,
anastępnieskorzystajztwierdzeniaowartościśredniej,byotrzymać
u(x,y)–u(x0,y0)=(x–x0)ux(Ę,η)+(y–y0)uy(Ę,η),
gdziex0<Ę<xiy0<η<y.Podobnewyrażeniemożeszotrzymaćdlav(x,y)–
v(x0,y0).Wstawtewynikidootrzymanegopowyżejwzoruna[f(z)–f(z0)]/(z–z0)
iprzejdźdogranicy,bywykazać,żef,(z)=ux+ivx=vy–iuy.
21.Wyprowadźwzory(2.14)i(2.15).Wskazówka:Wrównaniu(2.1)przyjmijz=rei9,poczym
razprzejdźdogranicyprzyr→r0dla9=90,araz—przy9→90dlar=r0.
22.Przedstawfunkcjeu(x,y)=(x2–y2)/(x2+y2)2orazv(x,y)=–2xy/(x2+y2)2we
współrzędnychbiegunowychiwykaż,żespełniająonerównaniaCauchy–Riemanna.Jakiej
funkcjif(z)odpowiadają?
18.3.CAŁKOWANIEFUNKCJIZESPOLONYCH.
TWIERDZENIECAUCHY’EGO
Całkęzfunkcjizmiennejzespolonejoznaczamyprzez
I=∫
C
f(z)dz.
(3.1)
ZmiennazzakreślanapłaszczyźniezespolonejkrzywąoznaczonąjakoCwpowyższym
wzorze.Widzimy,żecałkazfunkcjif(z)jestwrzeczywistościcałkąkrzywoliniową
(rozważaliśmytakiecałkiwpodrozdziale7.2).
Możemyzdefiniowaćcałkę(3.1)zapomocąsumyRiemanna,takjaktorobiliśmy
dlacałekkrzywoliniowych.NiechkrzywaCbędziekawałkamigładka(innymisłowy
niechsięskładazkawałków,naktórychstycznazmieniasięwsposóbciągły).Jejpunkt
początkowyipunktkońcowyoznaczmyodpowiednioprzezaib,przyczympunkty
temogą,aleniemusząbyćróżne.PodzielmyterazCnankawałkówz1–a,z2–z1,
