Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
wtedyitylkowtedy,gdyfunkcjapierwotnafunkcjif(z)jestanalitycznawpewnym
obszarzeRzawierającymkonturC.
Twierdzenietowyjaśnia,dlaczegomogliśmyobliczyćcałkęf(z)=coszpokontu-
rachzrysunku18.8,korzystającpoprostuzewzoru
∫
a
b
coszdz=[sinz]
b
a.
Możemyzatemkorzystaćzeznanychwzorównacałki∫f(z)dzzfunkcjielementarnych
podwarunkiem,żefunkcjapierwotnafunkcjif(z)jestanalitycznawpewnymobszarze
zawierającymkontur,poktórymcałkujemy.Twierdzenietowyjaśniarównież,dlaczego
wynikcałkowaniafunkcjif(z)=1/zzależyodtego,poktórymzkonturówzrysunku
18.8jąobliczamy.FunkcjapierwotnaF(z)=lnzfunkcjif(z)niejestjednowartościo-
wa,awięcanalityczna,gdyżmawz=0punktrozgałęzienia.
Możemyscałkowaćfunkcjęf(z)=1/z,oilepamiętamycałyczasotym,naktórej
gałęzifunkcjilnzsięznajdujemywróżnychpunktachz(lub9,jeżelicałkujemypo
okręgubądźpołukuokręgu).Rozważmy
I=f
C
dz
z
,
gdziekonturCjestokręgiemjednostkowym.Obliczmycałkęod9=90(0≤90<2π)
do9=90+2π,pisząc
I=[lnz]
90+2π
90
.
Przypomnijmy,żefunkcjilnzodpowiadacięciepłaszczyznyzespolonejwzdłużdodat-
niejpółosiosix(rys.18.4),awięc
lnz=lnr+(9+2πn)i
n=0,1,2,...
Dlan=0dostajemygałąźgłównąlnz,dlaktórej0≤9<2π.Gdy9=2π,przeska-
kujemydodrugiejgałęzilnz,dlaktórejn=1i2π≤9<4π.Mamywięc
I=[lnz]
90+2π
90
=lnr+(90+2π)i–lnr–90i=2πi.
Zanimzakończymytenpodrozdział,rozważymyjeszczejednąkonsekwencjętwierdze-
niaCauchy–Goursata.Przyjrzyjmysięsytuacjinarysunku18.15,gdzieC0iC1sąkrzy-
wymiJordana,punktz0może(aleniemusi)byćpunktemosobliwymfunkcjif(z),
awobszarzeograniczonymkonturamiC0iC1oraznaobukonturachniemainnych
punktówosobliwychf(z).BezpośrednimwnioskiemztwierdzeniaCauchy–Goursata
jestto,że
C0
f
f(z)dz=f
C1
f(z)dz,
(3.12)
przyczymobiecałkiobliczamy,przebiegająckonturywkierunkuprzeciwnymdoruchu
wskazówekzegara(rys.18.15).
