Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.3.CAŁKOWANIEFUNKCJIZESPOLONYCH.TWIERDZENIECAUCHY’EGO
15
z3–z2,...,b–zn–1,takjaktopokazanonarysun-
ku18.7,izapiszmysumę
n
n
In=
Σ
f(Ęj)(zj–zj–1)=
Σ
f(Ęj)∆zj,(3.2)
j=1
j=1
gdzieĘjjestdowolnympunktemwkawałkuzj–
zj–1(oznaczamyz0=aizn=b).Jeżeliprzyn→
∞orazdługościnajwiększegoz∆zjdążącejdo0
sumaIndążydopewnejgranicy,niezależnejodwy-
Rys.18.7.Podziałkrzywejłączącej
punktyaibnan(krzywoliniowych)
borupodpodziałówipunktówĘj,toI=limInicał-
odcinków
kaIistnieje.KrzywąCnazywamykonturemlub
drogącałkowania.Samącałkęnazywamyczęstocałkąkonturową.Jeślifunkcjaf(z)
jestanalitycznawpewnymobszarzeR,akonturCleżywewnątrzR,tofunkcjaf(z)
jestcałkowalnawzdłużC.
Zespoloneodpowiednikiogólnychwzorównacałkowaniefunkcjirzeczywistychsą
konsekwencjąrównania(3.2).Całkowaniejestnaprzykładoperacjąliniową;mamyteż
∫
a
b
f(z)dz=–
∫
b
a
f(z)dz,
b
c
b
∫
f(z)dz=
∫
f(z)dz+
∫
f(z)dz
(c∈C)
a
a
c
oraz
ł
ł
ł
ł
∫
a
b
f(z)dz
ł
ł
ł
ł
≤ML,
(3.3)
(3.4)
(3.5)
gdzieMjestograniczeniemgórnymna|f(z)|nakonturzeC,aLjestdługościąkontu-
ruC.Wzór(3.5)bywanazywanynierównościąML.
Całkękonturowąmożemydośćłatwoobliczyć,jeżelikonturjestzadanywsposób
parametryczny,wzależnościodzmiennejrzeczywistej,takjaktopokazanowponiż-
szychdwóchprzykładach.
PRZYKŁAD1
Obliczmy∫Cf(z)dz,gdzief(z)=z
–2,zaśkonturCjestzadanyparametrycznierównaniem
z=(1+i)tdla1≤t≤2.
Rozwiązanie:Możemyzapisaćposzukiwanącałkęjakocałkępozmiennejt:
2
∫
f(z)dz=∫
dz
z2
=
1+i
1
∫
dt
t2
=
2(1+i)
1
=
1–i
4
.
C
1
