Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.3.CAŁKOWANIEFUNKCJIZESPOLONYCH.TWIERDZENIECAUCHY’EGO
21
ważanejwtwierdzeniuCauchy–Goursata(pokazanotonarysunku18.14),anastępnie
skorzystajmyztego,że
b
a
f
f(z)dz=
∫
f(z)dz+
∫
f(z)dz=0,
C
a
b
więc∫
bf(z)dz=–∫
a
af(z)dz(wzór(3.3)).
b
PRZYKŁAD4
Obliczmycałkę
pookręgujednostkowym.
I=f
C
z2+z–6
dz
Rozwiązanie:Mianownikfunkcjipodcałkowejf(z)rozkładasięna(z–2)(z+3),więcf(z)ma
biegunyprostewpunktachz=2iz=–3.Funkcjaf(z)jestwięcanalitycznawkolejednost-
kowym,cooznacza,żeI=0.
PRZYKŁAD5
Obliczmycałkęzfunkcjif(z)=z–2pookręgujednostkowym.
Rozwiązanie:Wrzeczywistościrachunektenjużwykonaliśmywprzykładzie2,otrzymując
f
dz
z2
=i
0
∫
2π
e
–i9d9=0.
Widzimywięc,żewartośćcałkiwynosizero,pomimożefunkcjaf(z)niejestanalitycznawkole
jednostkowym.Okazujesięzatem,żeanalitycznośćjestwprawdziewarunkiemdostatecznym,
aleniekoniecznymnato,bycałkakonturowamiaławartośćzero.
KolejnywniosekztwierdzeniaCauchy–Goursatapodamybezdowodu(znajdziecie
gowksiążkachpodanychwbibliografii,zamieszczonejnakońcutomu).
Niechfunkcjaf(z)będzieciągławpewnymobszarzeR.Całka∫
Cf(z)dzniezależy
oddrogicałkowaniałączącejdwapunktywRwtedyitylkowtedy,gdyistnieje(jed-
nowartościowa)funkcjaanalitycznaF(z)spełniającaF,(z)=f(z)dlawszystkich
punktówzwR.
InnymisłowydlakonturuCłączącegopunktyaibzachodzi
∫
C
f(z)dz=F(b)–F(a)
(3.11)
