Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
1.Zbiory,ciągiifunkcje
2=długość(aa)itd.Funkcjadługośćniejestfunkcjąróżnowar-
tościową,chyba,żezbiórΣmatylkojedenelement.
PRZYKŁAD4
Udowodnimy,żefunkcjaf:R−
→Rokreślonawzoremf(x)
=3x−5jestprzekształceniemwzajemniejednoznacznymzbioru
RnaR.Abysprawdzić,żefjestróżnowartościowa,musimypo-
kazać,że
jeślif(x)=f(x!),tox=x!,
toznaczy
jeśli3x−5=3x!−5,tox=x!.
Alejeżeli3x−5=3x!−5,to3x=3x!(dodaj5doobustron),
atoimplikuje,żex=x!(podzielobiestronyprzez3).
Abypokazać,żefprzekształcazbiórRnaR,weźmyelement
yzezbioruR.MusimyznaleźćwzbiorzeRtakielementx,że
f(x)=y,tzn.3x−5=y.Rozwiązujemyrównaniezniewiadomą
xiotrzymujemyx=(y+5)/3.ZatemdladanegoyzRliczba
(y+5)/3należydoRif((y+5)/3)=3((y+5)/3)−5=y.
Topokazuje,żekażdyelementyzezbioruRnależydoIm(f),
azatemfprzekształcaRnaR.
Pewneszczególnefunkcjepojawiająsiętakczęsto,żemają
onespecjalnenazwy.NiechSbędziezbioremniepustym.Funk-
cjąidentycznościową1SnazbiorzeSnazywamyfunkcję,która
przekształcakażdyelementzbioruSnasiebiesamego:
1S(x)=xdlawszystkichx∈S.
3
Zatemfunkcjaidentycznościowajestprzekształceniemwzajemnie
jednoznacznymzbioruSnaS.
Funkcjęf:S−
→Tnazywamyfunkcjąstałą,jeśliistniejeele-
mentyo∈Ttaki,żef(x)=yodlawszystkichx∈S.Wartość,
jakąprzyjmujefunkcjastała,niezmieniasię,gdyxprzebiega
zbiórS.
WeźmyzbiórSijegopodzbiórA.Funkcjęokreślonąnazbio-
rzeS,któraprzyjmujewartość1dlaelementówzbioruAiwartość
0dlainnychelementówzbioruS,nazywamyfunkcjącharak-
terystycznązbioruAioznaczamyprzezχA(małagreckalitera
chizindeksemA).Zatem
χA(x)={1dlax∈A,
0
dlax∈S\A.
3FunkcjęidentycznościowączęstooznaczamyprzezidS,IdSlubIS.
