Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
54
1.Zbiory,ciągiifunkcje
Zbiórtennazywamyprzeciwobrazemelementuywzględem
funkcjif.Zauważmy,żerozwiązanierównaniaf(x)=yznie-
wiadomąxjestrównoważneznalezieniuzbioruf←(y).Tozna-
czy,żef←(y)jestzbioremrozwiązańrównaniaf(x)=y.Tak
jakwprzypadkurównańalgebraicznychzbiórf←(y)możemieć
jedenelement,wieleelementówlubniemiećichwcale.
PRZYKŁAD6
(a)Weźmyfunkcjęf:R−
→Rdanąwzoremf(x)=x2.Wtedy
zbiór
f←(4)={x∈R:x2=4}={−2,2}
jestzbioremrozwiązańrównaniax2=4.Przeciwobrazzbioru
[1,9]jestrówny
f←([1,9])={x∈R:x2∈[1,9]}={x∈R:1≤x2≤9}
=[−3,−1]U[1,3].
Mamyrównieżf←([−1,0])={0}if←([−1,1])=[−1,1].
(b)Weźmyfunkcjęg:N×N−
→Nokreślonąwzoremg(m,n)
=m2+n2.Wtedyg←(0)={(0,0)},g←(1)={(0,1),(1,0)},
g←(2)={(1,1)},g←(3)=Ø,g←(4)={(0,2),(2,0)}itd.Na
przykładmamyg←(25)={(0,5),(3,4),(4,3),(5,0)}.
PRZYKŁAD7
(a)NiechΣbędziealfabeteminiechLbędziefunkcjądługości
określonąnazbiorzeΣ∗:L(w)=długość(w)dlaw∈Σ∗.Jakjuż
zauważyliśmywprzykładzie3(b)w§1.3,funkcjaLprzekształca
zbiórΣ∗naN.Dlakażdejliczbyk∈N
L←(k)={w∈Σ∗:L(w)=k}={w∈Σ∗:długość(w)=k}.
Zauważmy,żezbioryL←(k)dlaróżnychksąrozłączneiichsumą
jestΣ∗:
L←(0)UL←(1)UL←(2)U...=Σ∗.
(b)Weźmyfunkcjęh:Z−
→{−1,1}taką,żeh(n)=(−1)n.
Wtedy
h←(1)={n∈Z:liczbanjestparzysta}
oraz
h←(−1)={n∈Z:liczbanjestnieparzysta}.
TedwazbiorysąrozłączneiichsumąjestcałyzbiórZ:
h←(1)Uh←(−1)=Z.
Niejesttoprzypadkowe,żeprzeciwobrazyelementówdzielą
dziedzinęfunkcjinazbioryrozłączne,jakwostatnimprzykła-
dzie.Wparagrafie3.5przekonamysię,żetakdziejesięzawsze
