Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
56
1.Zbiory,ciągiifunkcje
(a)Obliczg(n)dlan=0,1,2,3,4,73.
(b)Pokaż,żeg◦f=1N,alef◦g/=1N.
7.Jeślif:S-
→Sorazf◦f=1S,tofunkcjafjestfunkcjąodwrotną
dosiebiesamej.Pokaż,żenastępującefunkcjesąodwrotnedosiebie
samych.
(a)Funkcjaf:(0,∞)-
→(0,∞)danawzoremf(x)=1/x.
(b)FunkcjaΦ:P(S)-
→P(S)określonawzoremΦ(A)=A
c.
(c)Funkcjag:R-
→Rdanawzoremg(x)=1-x.
(d)Funkcjaodwr:C×C-
→C×C(gdzieCjestdowolnymzbiorem)
określonawzoremodwr(x,y)=(y,x).
8.NiechAbędziepodzbiorempewnegozbioruSiniechfunkcjaχAbędzie
funkcjącharakterystycznązbioruA.ZnajdźχA
←(1)orazχA←(0).
9.Niechf:S-
→Tig:T-
→Ubędąfunkcjamiodwracalnymi.Pokaż,że
g◦fjestfunkcjąodwracalnąorazże(g◦f)
-1=f-1◦g-1.
10.Niechf:S-
→Tbędziefunkcjąodwracalną.Pokaż,żef-1jestfunkcją
odwracalnąorazże(f
-1)
-1=f.
11.Weźmyfunkcjef:S-
→Tig:T-
→Stakie,żeg◦f=1S.Nietrywialne
przykładytakichparfunkcjipodaliśmywćwiczeniach5i6.
(a)Udowodnij,żefunkcjafjestróżnowartościowa.
(b)Udowodnij,żefunkcjagprzekształcazbiórTnazbiórS.
12.Weźmyfunkcjęf:R×R-
→R×Rokreślonąwzorem
f(x,y)=(x+y,x-y).
(a)Udowodnij,żefjestfunkcjąróżnowartościowąwzbiorzeR×R.
(b)Udowodnij,żefunkcjafprzekształcazbiórR×RnaR×R.
(c)Znajdźfunkcjęodwrotnąf-1.
(d)Znajdźfunkcjezłożonef◦f-1if◦f.
13.Niechf:S-
→T.
(a)Pokaż,żef(f
←(B))⊆BdladowolnegopodzbioruBzbioruT.
(b)Pokaż,żeA⊆f←(f(A))dladowolnegopodzbioruAzbioruS.
(c)Pokaż,żef←(B1nB2)=f←(B1)nf←(B2)dladowolnychpod-
zbiorówB1iB2zbioruT.
(d)JakiewarunkimusispełniaćzbiórB,bywpunkcie(a)zachodziła
równość?
14.Niechf:S-
→T.Udowodnij,żenastępującezdaniasąprawdziwelub
wykaż,żesąfałszywe.Jeślisąfałszywe,towystarczypodaćjeden
kontrprzykład.
(a)f(A1nA2)=f(A1)nf(A2),jeśliA1iA2sąpodzbioramizbioruS.
(b)f(A1\A2)=f(A1)\f(A2),jeśliA1iA2sąpodzbioramizbioruS.
(c)f(A1)=f(A2)implikujeA1=A2.
15.(a)Możnapokazać,żejeślifunkcjaf:T-
→Ujestróżnowartościowa
orazfunkcjeg:S-
→Tih:S-
→Tspełniająwarunekf◦g=f◦h,
