Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.5.Ciągi
59
siebiekolejneliczbynaturalneażdon”.WyrażenieΠ
n
k=1kjest
bardziejjednoznaczne.Otokilkapierwszychwartościn!:1!=1,
2!=1·2=2,3!=1·2·3=6,4!=1·2·3·4=24.Więcej
wartościn!podajemywtablicach1.4i1.5.Zpewnychpowodów
n!jestrównieżzdefiniowanadlan=0;0!zdefinicjijestrówne1.
Dodefinicjin!powrócimyw§4.1.
Nieskończonyciągobiektówmożebyćzapisanyzapomocą
indeksówzezbioruN={0,1,2,...}liczbnaturalnych(lub
{m,m+1,m+2,...}dlapewnejliczbycałkowitejm).Zatem
ciągokreślonynazbiorzeNjestlistąso,s1,...,sn,...,wktórej
dlakażdejliczbyn∈Nobiektsnmaokreślonąwartość.Często
snnazywamyn-tymwyrazemciągu.Czasamiwygodniejjest
oznaczaćsamciągsymbolem(sn)lub(sn)n∈N,lub(so,s1,s2,...).
Niekiedybędziemypisaćs(n)zamiastsn.Informatycyużywają
częstooznaczenias[n],częściowodlatego,żełatwosiętozapisuje
nakomputerze.
Oznaczenies(n)wyglądatakjaknaszeoznaczeniefunkcji.
Wrzeczywistościciągjestfunkcją,którejdziedzinąjestzbiór
N={0,1,2,...}liczbnaturalnychlubzbiór{m,m+1,m+2,...}
dlapewnejliczbycałkowitejm.Każdaliczbacałkowitanzdzie-
dzinyciąguwyznaczawartośćs(n)n-tegowyrazuciągu.
Wpierwszychprzykładachbędziemyrozważaćciągiliczbrze-
czywistych.
PRZYKŁAD1
(a)Ciąg(sn)n∈N,gdziesn=n!,jestciągiemsilnii
(1,1,2,6,24,
...).
Zbiorem
wartości
tego
ciągu
jest
{1,2,6,24,
...}={n!:n∈P}.
(b)Ciąg(an)n∈Nzdefiniowanyzapomocąwzoruan=(−1)n
dlan∈Njestciągiem(1,−1,1,−1,1,−1,1,...),któregozbiorem
wartościjest{−1,1}.
Jakpokazujątodwaostatnieprzykłady,ważnejest,byrozróż-
niaćciągizbiórjegowartości.Zawszeużywamynawiasów{},
kiedywypisujemyelementyzbiorulubopisujemyzbiórinigdy
nieużywamytychnawiasówdoopisuciągu.Ciąg(an)n∈Ndany
wzoreman=(−1)nzprzykładu1(b)manieskończeniewiele
wyrazów,chociażjegowartościciąglesiępowtarzają.Zdrugiej
strony,zbiórwartości{(−1)n:n∈N}jestdokładniezbiorem
{−1,1},składającymsięzdwóchliczb.
Ciągomnadajesięczęstoprzemawiającedowybraźniskró-
towenazwy,takiejaksilnia,sumaitp.
PRZYKŁAD2
(a)Niechsilnia(n)=n!dlan∈N.Jesttodokładnietensam
ciąg,cowprzykładzie1(a);zmieniłasiętylkojegonazwa(silnia
