Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.DrugazasadadynamikiNewtonawewspółrzędnychkartezjańskich25
jestrównaniemróżniczkowymdrugiegorzędu15dlawektorapołożeniarjakofunkcji
czasut.WtypowymproblemiesiłyskładającesięnaFsądane,anaszezadaniepolega
narozwiązaniurównaniaróżniczkowego(1.30)dlar(t).Niekiedymamydaner(t)imu-
simyposłużyćsięrównaniem(1.30),abyznaleźćniektórezsił.Wkażdymprzypadku
równanie(1.30)jestwektorowymrównaniemróżniczkowym.Anajprostszymsposobem
narozwiązanietakichrównańjestniemalzawszerozłożeniewektorównaichskładowe
względemwybranegoukładuodniesienia.
Pojęciowonajprostszymukłademwspółrzędnychjestukładkartezjański(inaczej
mówiąc—prostokątny),zwersoramiˆ
x,ˆ
y,ˆ
z,zapomocąktórychmożnazapisaćcał-
kowitąsiłęFdziałającąnaciałowpostaci
F=Fxˆ
x+Fyˆ
y+Fzˆ
z,
awektorpołożeniarwpostaci
r=xˆ
x+yˆ
y+zˆ
z.
(1.31)
(1.32)
Jakzauważyliśmywpodrozdziale1.2,toprzedstawienierwpostacisumyskładowych
kartezjańskichjestbardzodogodneprzyróżniczkowaniu,ponieważwersoryˆ
x,ˆ
y,ˆ
zsą
stałe.Możemyzatemdwukrotniezróżniczkować(1.32),uzyskującprostyrezultat
r=¨
¨
xˆ
x+¨
yˆ
y+¨
zˆ
z.
(1.33)
Trzykartezjańskiewspółrzędne¨
rsązatempoprostuodpowiednimipochodnymitrzech
współrzędnychx,y,zwektorar,adrugazasadadynamiki(1.30)przyjmujepostać
Fxˆ
x+Fyˆ
y+Fzˆ
z=m¨
xˆ
x+m¨
yˆ
y+m¨
zˆ
z.
(1.34)
Rozkładająctorównanienatrzyskładowe,widzimy,żeskładowaFxmusibyćrównam¨
x
ipodobniejestdlaskładowychyiz.Inaczejmówiąc,wewspółrzędnychkartezjańskich
jednorównaniewektorowe(1.30)jestrównoważnetrzemodrębnymrównaniom,
⇐⇒
[
ł
l
Fx=m¨
Fy=m¨
Fz=m¨
x,
y,
z.
F=m¨
r
(1.35)
Tapięknawłaściwość,żewewspółrzędnychkartezjańskichdrugazasadaNewtona
wtrzechwymiarachjestrównoważnatrzemjednowymiarowymwersjomtejsamejza-
sady,jestpodstawąrozwiązanianiemalwszystkichprostychproblemówmechanicznych
wewspółrzędnychkartezjańskich.Otoprzykład,którypowinienprzypomniećCzytelni-
kowi,wjakisposóbrozwiązujesiętakiezadania.
Przykład1.1.Klocekześlizgującysięporównipochyłej
Klocekomasiem,którypoczątkowoznajdowałsięwspoczynku,ześlizgujesię
porównipochyłej,któramawspółczynniktarciaµijestnachylonapodkątem9do
poziomu.Jakąodległośćpokonaklocekwczasiet?
15SiłaFmożeniekiedyzależećodpochodnychr.(Naprzykładsiłamagnetycznadziałającanaporusza-
jącysięładunekelektrycznyzależyodprędkościv=˙
r).WbardzonielicznychprzypadkachsiłaFzawiera
wyższepochodner,rzędun>2;wówczasdrugazasadadynamikistajesięrównaniemróżniczkowym
rzędun.
