Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.Współrzędnebiegunowenapłaszczyźnie27
Zeskładowejx-owejdrugiejzasadydynamikiFx=m¨
xwynika(patrzrysunek1.9),
że
wx−f=m¨
x
lubinaczej
mgsin9−µmgcos9=m¨
x.
Czynnikmpoobustronachsięskracaiotrzymujemywyrażenienaprzyspieszeniewru-
chuwdółrówni:
x=g(sin9−µcos9).
¨
(1.36)
Znalazłszy¨
xistwierdziwszy,żejesttostała,musimyteraztylkowykonaćdwukrotne
całkowanie,abywyznaczyćxjakofunkcjęt.Pierwszecałkowaniedaje
x=g(sin9−µcos9)t.
˙
(Pamiętajmy,żewchwilipoczątkowej˙
x=0,zatemstałacałkowaniajestrównazeru).
Podrugimcałkowaniuotrzymujemy
x(t)=1
2g(sin9−µcos9)t2
(stałacałkowaniarównieżiwtymprzypadkujestrównazeru),cojestostatecznymroz-
wiązaniemtegozagadnienia.
1.7.Współrzędnebiegunowenapłaszczyźnie
Zaletąwspółrzędnychkartezjańskichjestichprostota,jaksięjednakprzekona-
my,rozwiązanieniektórychzadańjestniemalniemożliwebezużyciaróżnychukładów
współrzędnychkrzywoliniowych.Abyzilustrowaćtrudnościpojawiającesięwtakich
układachwspółrzędnych,zastanówmysię,jakąpostaćprzyjmiedrugazasadadynamiki
Newtonawprzypadkuzagadnieniapłaskiego,opisywanegozapomocąwspółrzędnych
biegunowych.Współrzędnetesązdefiniowanenarysunku1.10.Zamiastużywaćwspół-
rzędnychkartezjańskichx,y,określamypołożeniecząstkizapomocąjejodległościr
odpoczątkuukładuOikątaφ,mierzonegowzględemosix.Mającdanewspółrzęd-
nekartezjańskiexiy,możemyobliczyćwspółrzędnebiegunoweriφ,lubviceversa,
posługującsięnastępującymizwiązkami.(Czytelnikpowiniensięupewnić,żerozumie
wszystkieczteryponiższerównania16).
x=rcosφ,
y=rsinφ,
←→
r=x2+y2,
φ=arctg(y/x).
(1.37)
Podobniejakwewspółrzędnychkartezjańskich,wygodniejestwprowadzićdwa
wersory,którebędziemyoznaczaliˆ
riˆ
φ.Abyzrozumiećtedefinicje,zwróćmyuwagę,że
możemyzdefiniowaćwersorˆ
xjakowektorojednostkowejdługości,któregoorientacja
16Zrównaniemdlaφzwiązanajestdrobnasubtelność:należysięupewnić,żeφznajdujesięwewłaściwej
ćwiartce,ponieważpierwszaitrzeciaćwiartkadajątesamewartościdlay/x,podobniejestteżzdrugą
iczwartąćwiartką.Patrzzadanie1.42.
