Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
E(K)=Np.
(1.2)
Natomiastwahaniarocznejliczbyszkódwokółtejprzeciętnejoceniasięna
podstawieodchyleniastandardowegolubwariancji,którejwartośćokreślawzór:
Var(K)=Npq.
(1.3)
Jednakwpraktyceubezpieczeniowejnaogółwystępujądużeportfeleryzyka,
awubezpieczeniachmajątkowychprzeważnieprawdopodobieństwowystąpienia
szkodywpojedynczymtypieryzykajestbardzomałe.Wtakiejsytuacjinapodstawie
znanychtwierdzeńgranicznychzrachunkuprawdopodobieństwa[zob.Hellwig
(1991)]przyjmujesię,żezmiennalosowaKmarozkładPoissonaopostaci:
p
k=
k!
Ik
e−I,
k=0,1,2,...,
(1.4)
gdzieI=Np.
WtymprzypadkuwartośćoczekiwanaiwariancjazmiennejKokreślonesą
następującymiwzorami:
E(K)=I,
Var(K)=I.
(1.5)
Przykład1.1.Wzakładzieubezpieczeńsprzedanowpewnymroku1700polis
tegosamegotypudotyczącychubezpieczeńmieszkań.Napodstawieobserwacjizpo-
przednichlatoszacowano,żeprawdopodobieństwowystąpieniaszkodywpojedynczej
polisieztegoportfelawynosip=0,05.Zewzorów(1.1)i(1.2)wynika,żeprzeciętna
liczbaszkódwtymportfeludlajednegorokuwyniesie85.Wariancjaprzyjmierównież
wartość85,stądodchyleniestandardowewyniesie9,2.Zatemtypowymobszarem
zmiennościdlazmiennejopisującejliczbęszkódjestprzedział(75,8;94,2).Oznacza
to,żejeśliwarunkiokreślającezaistnienieszkodybyłybyniezmiennewciąguwielulat,
towtakimprzedzialeznajdowałabysięliczbaszkódwokoło67%łącznejliczbylat.
Wpraktyceubezpieczeniowejmogąpojawićsięsytuacje,kiedytowariancja
liczbyszkódprzekraczaśrednią.Wówczaslepszymmodelemopisującymzmienną
Kjestzmiennalosowaorozkładzieujemnymdwumianowymonastępującejpostaci:
p
k=
(
a+k−1
k
)
qkpa,
(1.6)
gdzie:0<a<∞;p∈(0;1);p–prawdopodobieństwowystąpieniaszkody:q=1−p;
p
k–prawdopodobieństwowystąpieniaa-tejkolejnejszkodypokbezszkodach.
Dlategorozkładupodstawoweparametrymająpostać:
E(K)=a
q
p
,
Var(K)=a
p2
q
.
(1.7)
Natomiastjeślia→∞orazap=constans,torozkładtenprzekształcasięwroz-
kładPoissonaowartościoczekiwanejI=ap.
19
