Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.4.Rozkładwartościindywidualnej
szkodylubroszczenia
Wartośćindywidualnejszkody(lubindywidualnegoroszczenia)możebyćmodelo-
wanazapomocązmiennejlosowejciągłejopewnejdystrybuancieF(x),aprzede
wszystkimowartościachX>0orazowartościoczekiwanejE(X)skończonej,gdyż
wprzeciwnymprzypadkutakieryzykoniejestubezpieczalne.Wskazanejesttakże,
abywariancjarównieżbyłaskończona.Podstawowyproblem,jakitutajpowstaje,to
określeniepostacitejdystrybuantylubznalezieniejejpodstawowychparametrów.
Stosowanemetodyto:
•Konstruowanieempirycznejpostacidystrybuantynapodstawieobserwacji
zpoprzedniegookresuzestawionychwszeregiczasowe.
•Szukanieanalitycznejpostacidystrybuantywyrażonejwzoremiwtymcelu
wykorzystaniestatystycznychtestówistotnościtypuχ2lubI-KołmogorowalubKoł-
mogorowa–Smirnowa,dozweryfikowaniahipotezyopostacidystrybuanty.
•Obliczanienapodstawiedanychempirycznychpodstawowychparametrów
rozkładubezszukaniapostacidystrybuanty.
Wzastosowaniachaktuarialnychwykorzystujesięnajczęściejnastępującetypy
rozkładów:
•gamma,
•Pareto,
•beta,
•logarytmiczno-normalny,
•normalny.
Pierwszytyprozkładówtorozkładygammaonastępującejfunkcjigęstości:
f(x)=
γΓ(γ)
1
xγ−1e−x͞u,
x>0,
zdwomaparametrami,gdzie>0,afunkcjagammaΓzadanajestwzorem:
Γ(γ)=
∞
0
∫
xγ−1e−xdx
dla
γ>0.
Dlategorozkładuwartośćoczekiwanaiwariancjamająpostać:
E(X)=γ,
Var(X)=2γ.
(1.23)
(1.24)
Jeśliγ=1,tootrzymamyszczególnyprzypadek,zwanyrozkłademwykładniczym,
onastępującejpostacifunkcjigęstości:
f(x)=
1
e−x͞.
(1.25)
Krzywąfunkcjigęstościrozkładuwykładniczego(γ=1)przedstawiononarysunku
1.1.Natomiastnarysunku1.2przedstawionofunkcjęgęstościdlaγ>1,arysunek1.3
pokazujefunkcjęgęstościrozkładugammadlaγ<1.
25
