Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
202020
ParametryopisustrumieniaPoissona
Prawdopodobieństwaelementarne
Rozdział2.Podstawowedefinicjeiterminologia
WstrumieniuPoissonaprawdopodobieństwopojawienia(niepojawienia)sięjednegozgło-
szeniawprzedzialeΔtjestnazywaneprawdopodobieństwemelementarnymijestwprost
proporcjonalnedodługościprzedziałuczasowegoΔt:
P1(Δt)=AΔt+θ(Δt)
Po(Δt)=1−AΔt+θ(Δt)
gdzieθ(Δt)jestnieskończeniemałąwartościąwporównaniuzΔt:
Δtąo
lim
θ(Δt)
Δt
=0
Prawdopodobieństwopojawieniasięwięcejniżjednegozgłoszeniajestpomijalne:
Pi>1(Δt)=θ(Δt)
Prawdopodobieństwopojawieniasiękzgłoszeńwczasiet
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Pojawieniesiękzgłoszeńwprzedzialeczasowym(t+Δt)jestmożliwetylkowtedy,gdy
wprzedzialetpojawisięk−źzgłoszeń(0≤ź≤k),awprzedzialeΔtpojawisięodpowied-
nioźzgłoszeń.PonieważstrumieńPoissonajeststrumieniembeznastępstw,więcpojawienie
sięk−źzgłoszeńwprzedzialeczasowymtorazźzgłoszeńwprzedzialeΔtjestniezależne.
Zatem:
Pk(t+Δt)=Pk1i(t)Pi(Δt)
(2.5)
Biorącpoduwagęwszystkiemożliwewariantynapływuzgłoszeń,zgodnieztwierdzeniem
oprawdopodobieństwiezupełnym,możnazapisać:
Pk(t+Δt)=
Σ
i=o
k
Pk1i(t)Pi(Δt)
(2.6)
Wrównaniu(2.6)prawdopodobieństwaPi(Δt)przyjmąskończonewartościjedyniedla
ź=0orazź=1.Pouwzględnieniuwzorów(2.1)i(2.2),równanie(2.6)możnawięczapisać
wnastępującejpostaci:
Pk(t+Δt)=Pk(t)(1−AΔt)+Pk11(t)(AΔt)
(2.7)
PrzechodzącdogranicydlaΔt→0,otrzymujesięnastępującyukładrównańróżniczko-
wych:
dPk(t)
dt
=−APk(t)+APk11(t)
Dlak=0rozwiązanierównania(2.8)prowadzidonastępującegowzoru:
Po(t)=e
1λt
(2.8)
(2.9)
